Задача №1842
Условие
Решить уравнение \(y'=\cos(x-y)\).
Решение
Полагая \(u=x-y\), получим \(y=x-u\), \(y'=1-u'\).
\[
1-u'=\cos{u};\;\frac{du}{dx}=1-\cos{u}.
\]
Перед разделением переменных рассмотрим случай \(\cos{u}=1\), т.е. \(u=2\pi{n}\), \(n\in{Z}\). Непосредственной проверкой несложно убедиться, что эти функции являются решениями уравнения \(u'=1-\cos{u}\). Следовательно, функции \(y=x-2\pi{n}\) являются решениями исходного уравнения. При условии \(1-\cos{u}\neq{0}\), получим:
\[
\frac{du}{1-\cos{u}}=dx;\; \int\frac{du}{2\sin^2\frac{u}{2}}=\int{dx};\\
-\ctg\frac{u}{2}=x-C;\;x+\ctg\frac{x-y}{2}=C.
\]
Ответ:
\(y=x-2\pi{n}\) (\(n\in{Z}\)); \(x+\ctg\frac{x-y}{2}=C\).