3931-1
Информация о задаче
Задача №3931 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Решить уравнение [math]y'=\cos(x-y)[/math].
Решение
Полагая [math]u=x-y[/math], получим [math]y=x-u[/math], [math]y'=1-u'[/math].
[dmath] 1-u'=\cos{u};\;\frac{du}{dx}=1-\cos{u}. [/dmath]
Перед разделением переменных рассмотрим случай [math]\cos{u}=1[/math], т.е. [math]u=2\pi{n}[/math], [math]n\in{Z}[/math]. Непосредственной проверкой несложно убедиться, что эти функции являются решениями уравнения [math]u'=1-\cos{u}[/math]. Следовательно, функции [math]y=x-2\pi{n}[/math] являются решениями исходного уравнения. При условии [math]1-\cos{u}\neq{0}[/math], получим:
[dmath]
\frac{du}{1-\cos{u}}=dx;\; \int\frac{du}{2\sin^2\frac{u}{2}}=\int{dx};\\
-\ctg\frac{u}{2}=x-C;\;x+\ctg\frac{x-y}{2}=C.
[/dmath]
Ответ
[math]y=x-2\pi{n}[/math] ([math]n\in{Z}[/math]); [math]x+\ctg\frac{x-y}{2}=C[/math].
