3913-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3913 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти частное решение дифференциального уравнения [math]y'\sin{x}=y\ln{y}[/math], удовлетворяющее начальному условию [math]\left.y\right|_{x=\pi/2}=e[/math].

Решение

Функция [math]y=1[/math] является решением, но не удовлетворяет начальному условию. При [math]y\neq{1}[/math] разделяем переменные:

[dmath] \frac{dy}{y\ln{y}}=\frac{dx}{\sin{x}};\quad \int\frac{d(\ln{y})}{\ln{y}}=\int\frac{dx}{\sin{x}}.\\ \ln|\ln{y}|=\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+\ln{C_1};\quad \ln|\ln{y}|=\ln\left(C_1\left|\tg\frac{x}{2}\right|\right);\quad \ln{y}=\pm{C_1}\tg\frac{x}{2};\quad y=e^{\pm{C_1}\cdot\tg\frac{x}{2}}. [/dmath]

Здесь [math]C_1\gt{0}[/math]. Переобозначая [math]\pm{C_1}[/math] как [math]C[/math], где [math]C\in{R}\setminus\{0\}[/math], получим: [math]y=e^{C\tg\frac{x}{2}}[/math]. Исходя из начального условия, имеем: [math]e=e^C[/math], откуда [math]C=1[/math]. Следовательно, [math]y=e^{\tg\frac{x}{2}}[/math].

Ответ

[math]y=e^{\tg\frac{x}{2}}[/math]