3910-1
Информация о задаче
Задача №3910 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее решение дифференциального уравнения [math]y'+\sin\frac{x+y}{2}=\sin\frac{x-y}{2}[/math].
Решение
[dmath] y'=\sin\frac{x-y}{2}-\sin\frac{x+y}{2} =-2\sin\frac{y}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}. [/dmath]
Функции вида [math]y=2\pi{k}[/math], где [math]k\in{Z}[/math] являются решениями данного уравнения. При условии [math]y\neq{2\pi{k}}[/math] разделяем переменные:
[dmath] \frac{dy}{2\sin\frac{y}{2}} =-\cos\frac{x}{2}dx;\; \int\frac{dy}{2\sin\frac{y}{2}} =-\int\cos\frac{x}{2}dx;\; \ln\left|\tg\frac{y}{4}\right| =C-2\sin\frac{x}{2}. [/dmath]
Ответ
[math]\ln\left|\tg\frac{y}{4}\right|=C-2\sin\frac{x}{2}[/math], [math]y=2\pi{k}[/math].
