Задача №1840
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(y'+\sin\frac{x+y}{2}=\sin\frac{x-y}{2}\).
Решение
\[
y'=\sin\frac{x-y}{2}-\sin\frac{x+y}{2}
=-2\sin\frac{y}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}.
\]
Функции вида \(y=2\pi{k}\), где \(k\in{Z}\) являются решениями данного уравнения. При условии \(y\neq{2\pi{k}}\) разделяем переменные:
\[
\frac{dy}{2\sin\frac{y}{2}}
=-\cos\frac{x}{2}dx;\;
\int\frac{dy}{2\sin\frac{y}{2}}
=-\int\cos\frac{x}{2}dx;\;
\ln\left|\tg\frac{y}{4}\right|
=C-2\sin\frac{x}{2}.
\]
Ответ:
\(\ln\left|\tg\frac{y}{4}\right|=C-2\sin\frac{x}{2}\), \(y=2\pi{k}\).