3908-1
Информация о задаче
Задача №3908 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее решение дифференциального уравнения [math]e^{-s}\cdot\left(1+\frac{ds}{dt}\right)=1[/math].
Решение
[dmath] 1+\frac{ds}{dt}=e^s;\; \frac{ds}{dt}=e^s-1. [/dmath]
Подстановкой убеждаемся, что [math]s=0[/math] – решение данного уравнения. При условии [math]s\neq{0}[/math] получим:
[dmath] \frac{ds}{e^s-1}=dt;\;\int\frac{ds}{e^s-1}=\int{dt}. [/dmath]
Отдельно рассмотрим первый интеграл:
[dmath] \int\frac{ds}{e^s-1} =\int\frac{e^{-s}ds}{1-e^{-s}} =\int\frac{d\left(e^{-s}-1\right)}{e^{-s}-1} =\ln\left|e^{-s}-1\right|+C. [/dmath]
Возвращаясь к предыдущему равенству, получим:
[dmath] \ln\left|e^{-s}-1\right|=t+C_1;\; \left|e^{-s}-1\right|=e^{C_1}\cdot{e^t};\;e^{-s}-1=\pm{e^{C_1}}\cdot{e^t}. [/dmath]
Переобозначая [math]C=\pm{e^{C_1}}[/math] (здесь [math]C\neq{0}[/math]), получим:
[dmath] e^{-s}-1=C\cdot{e^t};\;s=-\ln\left(Ce^t+1\right). [/dmath]
Решение [math]s=0[/math], указанное ранее, можно получить из выражения [math]s=-\ln\left(Ce^t+1\right)[/math], положив [math]C=0[/math].
Ответ
[math]s=-\ln\left(Ce^t+1\right)[/math]
