Задача №1838
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(e^{-s}\cdot\left(1+\frac{ds}{dt}\right)=1\).
Решение
\[
1+\frac{ds}{dt}=e^s;\; \frac{ds}{dt}=e^s-1.
\]
Подстановкой убеждаемся, что \(s=0\) – решение данного уравнения. При условии \(s\neq{0}\) получим:
\[
\frac{ds}{e^s-1}=dt;\;\int\frac{ds}{e^s-1}=\int{dt}.
\]
Отдельно рассмотрим первый интеграл:
\[
\int\frac{ds}{e^s-1}
=\int\frac{e^{-s}ds}{1-e^{-s}}
=\int\frac{d\left(e^{-s}-1\right)}{e^{-s}-1}
=\ln\left|e^{-s}-1\right|+C.
\]
Возвращаясь к предыдущему равенству, получим:
\[
\ln\left|e^{-s}-1\right|=t+C_1;\; \left|e^{-s}-1\right|=e^{C_1}\cdot{e^t};\;e^{-s}-1=\pm{e^{C_1}}\cdot{e^t}.
\]
Переобозначая \(C=\pm{e^{C_1}}\) (здесь \(C\neq{0}\)), получим:
\[
e^{-s}-1=C\cdot{e^t};\;s=-\ln\left(Ce^t+1\right).
\]
Решение \(s=0\), указанное ранее, можно получить из выражения \(s=-\ln\left(Ce^t+1\right)\), положив \(C=0\).
Ответ:
\(s=-\ln\left(Ce^t+1\right)\)