3907-5

Информация о задаче

Задача №X раздела №8 "Кратные и криволинейные интегралы" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{x^2}^{x}xy^2dy[/math].

Решение

[math] \int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{x^2}^{x}xy^2dy =\int\limits_{0}^{1}xdx\int\limits_{x^2}^{x}y^2dy =\int\limits_{0}^{1}x\cdot\left.\frac{y^3}{3}\right|_{x^2}^{x}dx =\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}\left(x^4-x^7\right)dx =\frac{1}{3}\cdot\left.\left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^8}{8}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{1}{40}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{40}[/math]