Задача №2050
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{x^2}^{x}xy^2dy\).
Решение
\[
\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{x^2}^{x}xy^2dy
=\int\limits_{0}^{1}xdx\int\limits_{x^2}^{x}y^2dy
=\int\limits_{0}^{1}x\cdot\left.\frac{y^3}{3}\right|_{x^2}^{x}dx
=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}\left(x^4-x^7\right)dx
=\frac{1}{3}\cdot\left.\left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^8}{8}\right)\right|_{0}^{1}
=\frac{1}{40}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{40}\)