3907-1
Информация о задаче
Задача №3907 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее решение дифференциального уравнения [math]\sqrt{1-y^2}dx+y\sqrt{1-x^2}dy=0[/math].
Решение
Подстановкой убеждаемся, что [math]y=-1[/math], [math]y=1[/math], [math]x=-1[/math], [math]x=1[/math] – решения данного уравнения. При условии [math]-1\lt{y}\lt{1}[/math] и [math]-1\lt{x}\lt{1}[/math] получим:
[dmath] -\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}; [/dmath]
[dmath] -\int\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};\;\frac{1}{2}\cdot\int\left(1-y^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-y^2\right)=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. [/dmath]
[dmath] \sqrt{1-y^2}=\arcsin{x}+C;\;\sqrt{1-y^2}-\arcsin{x}=C. [/dmath]
Ответ
[math]\sqrt{1-y^2}-\arcsin{x}=C[/math], [math]y=-1[/math], [math]y=1[/math], [math]x=-1[/math], [math]x=1[/math].
