Задача №1837
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(\sqrt{1-y^2}dx+y\sqrt{1-x^2}dy=0\).
Решение
Подстановкой убеждаемся, что \(y=-1\), \(y=1\), \(x=-1\), \(x=1\) – решения данного уравнения. При условии \(-1\lt{y}\lt{1}\) и \(-1\lt{x}\lt{1}\) получим:
\[
-\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};
\]
\[
-\int\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};\;\frac{1}{2}\cdot\int\left(1-y^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-y^2\right)=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
\]
\[
\sqrt{1-y^2}=\arcsin{x}+C;\;\sqrt{1-y^2}-\arcsin{x}=C.
\]
Ответ:
\(\sqrt{1-y^2}-\arcsin{x}=C\), \(y=-1\), \(y=1\), \(x=-1\), \(x=1\).