Задача №1836
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(y'+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}=0\).
Решение
Подстановкой убеждаемся, что \(y=-1\) и \(y=1\) – решения данного уравнения. Дальнейшие преобразования ведём при условии \(y\neq{-1}\) и \(y\neq{1}\). При \(-1\lt{x}\lt{1}\), \(-1\lt{y}\lt{1}\) будем иметь:
\[
\frac{dy}{dx}+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}=0;\; \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
\]
\[
\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=-\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};\;\arcsin{x}+\arcsin{y}=C;\; C\in\left(-\pi;\pi\right)
\]
Если же \(x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\), \(y\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\), то получим:
\[
\frac{dy}{dx}+\sqrt{\frac{y^2-1}{x^2-1}}=0;\; \frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=-\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}.
\]
При условии \(C_1\gt{0}\) будем иметь:
\[
\int\frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=-\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}};\;\ln\left|y+\sqrt{y^2-1}\right|+\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|=\ln{C_1}.
\]
Переобозначая \(C=\pm{C_1}\) (здесь \(C\neq{0}\)), получим:
\[
\left|\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right|=C_1;\;
\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=C.
\]
Ответ:
\(\arcsin{x}+\arcsin{y}=C\), \(\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=C\), \(y=-1\), \(y=1\).