3906-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3906 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение дифференциального уравнения [math]y'+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}=0[/math].

Решение

Подстановкой убеждаемся, что [math]y=-1[/math] и [math]y=1[/math] – решения данного уравнения. Дальнейшие преобразования ведём при условии [math]y\neq{-1}[/math] и [math]y\neq{1}[/math]. При [math]-1<x<1[/math], [math]-1<y<1[/math] будем иметь:

[math] \frac{dy}{dx}+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}=0;\; \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. [/math]

[math] \int\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=-\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};\;\arcsin{x}+\arcsin{y}=C;\; C\in\left(-\pi;\pi\right) [/math]

Если же [math]x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)[/math], [math]y\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)[/math], то получим:

[math] \frac{dy}{dx}+\sqrt{\frac{y^2-1}{x^2-1}}=0;\; \frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=-\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}. [/math]

При условии [math]C_1>0[/math] будем иметь:

[math] \int\frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=-\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}};\;\ln\left|y+\sqrt{y^2-1}\right|+\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|=\ln{C_1}. [/math]

Переобозначая [math]C=\pm{C_1}[/math] (здесь [math]C\neq{0}[/math]), получим:

[math] \left|\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right|=C_1;\; \left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=C. [/math]

Ответ

[math]\arcsin{x}+\arcsin{y}=C[/math], [math]\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=C[/math], [math]y=-1[/math], [math]y=1[/math].