3905-1
Информация о задаче
Задача №3905 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее решение дифференциального уравнения [math]xy'+y=y^2[/math].
Решение
Подстановкой убеждаемся, что [math]y=0[/math] и [math]y=1[/math] – решения данного уравнения. При условии [math]y\neq{0}[/math] и [math]y\neq{1}[/math] получим:
[dmath] x\frac{dy}{dx}=y^2-y;\; \frac{dy}{y^2-y}=\frac{dx}{x}. [/dmath]
[dmath] \int\frac{dy}{y^2-y}=\int\frac{dx}{x};\; \int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}\right)dy=\int\frac{dx}{x}. [/dmath]
При условии [math]C_1\gt{0}[/math] получим:
[dmath] \ln|y-1|-\ln|y|=\ln|x|+\ln{C_1};\;\ln\left|\frac{y-1}{y}\right|=\ln\left(C_1\cdot|x|\right);\;\frac{y-1}{y}=C_1\cdot|x|. [/dmath]
Раскрывая модули и переобозначая [math]C=\pm{C_1}[/math] ([math]C\neq{0}[/math]), получим:
[dmath] \frac{y-1}{y}=Cx;\;1-\frac{1}{y}=Cx; y=\frac{1}{1-Cx}. [/dmath]
Найденное ранее решение [math]y=1[/math] можно получить из выражения [math]y=\frac{1}{1-Cx}[/math], положив [math]C=0[/math].
Ответ
[math]y=\frac{1}{1-Cx}[/math], [math]y=0[/math].
