3905-1

Информация о задаче

Задача №3905 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение дифференциального уравнения [math]xy'+y=y^2[/math].

Решение

Подстановкой убеждаемся, что [math]y=0[/math] и [math]y=1[/math] – решения данного уравнения. При условии [math]y\neq{0}[/math] и [math]y\neq{1}[/math] получим:

[math] x\frac{dy}{dx}=y^2-y;\; \frac{dy}{y^2-y}=\frac{dx}{x}. [/math]

[math] \int\frac{dy}{y^2-y}=\int\frac{dx}{x};\; \int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}\right)dy=\int\frac{dx}{x}. [/math]

При условии [math]C_1>0[/math] получим:

[math] \ln|y-1|-\ln|y|=\ln|x|+\ln{C_1};\;\ln\left|\frac{y-1}{y}\right|=\ln\left(C_1\cdot|x|\right);\;\frac{y-1}{y}=C_1\cdot|x|. [/math]

Раскрывая модули и переобозначая [math]C=\pm{C_1}[/math] ([math]C\neq{0}[/math]), получим:

[math] \frac{y-1}{y}=Cx;\;1-\frac{1}{y}=Cx; y=\frac{1}{1-Cx}. [/math]

Найденное ранее решение [math]y=1[/math] можно получить из выражения [math]y=\frac{1}{1-Cx}[/math], положив [math]C=0[/math].

Ответ

[math]y=\frac{1}{1-Cx}[/math], [math]y=0[/math].