Задача №1835
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(xy'+y=y^2\).
Решение
Подстановкой убеждаемся, что \(y=0\) и \(y=1\) – решения данного уравнения. При условии \(y\neq{0}\) и \(y\neq{1}\) получим:
\[
x\frac{dy}{dx}=y^2-y;\; \frac{dy}{y^2-y}=\frac{dx}{x}.
\]
\[
\int\frac{dy}{y^2-y}=\int\frac{dx}{x};\; \int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}\right)dy=\int\frac{dx}{x}.
\]
При условии \(C_1\gt{0}\) получим:
\[
\ln|y-1|-\ln|y|=\ln|x|+\ln{C_1};\;\ln\left|\frac{y-1}{y}\right|=\ln\left(C_1\cdot|x|\right);\;\frac{y-1}{y}=C_1\cdot|x|.
\]
Раскрывая модули и переобозначая \(C=\pm{C_1}\) (\(C\neq{0}\)), получим:
\[
\frac{y-1}{y}=Cx;\;1-\frac{1}{y}=Cx; y=\frac{1}{1-Cx}.
\]
Найденное ранее решение \(y=1\) можно получить из выражения \(y=\frac{1}{1-Cx}\), положив \(C=0\).
Ответ:
\(y=\frac{1}{1-Cx}\), \(y=0\).