3904-1
Информация о задаче
Задача №3904 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее решение дифференциального уравнения [math]y'\tg{x}-y=a[/math].
Решение
Подстановкой убеждаемся, что [math]y=-a[/math] – решение данного уравнения. При условии [math]y\neq{-a}[/math] получим:
[dmath] \tg{x}\frac{dy}{dx}=y+a;\;\frac{dy}{y+a}=\ctg{x}dx. [/dmath]
[dmath] \int\frac{dy}{y+a}=\int\ctg{x}dx;\;\int\frac{d(y+a)}{y+a}=\int\ctg{x}dx. [/dmath]
При условии [math]C_1\gt{0}[/math] получим:
[dmath] \ln|y+a|=\ln|\sin{x}|+\ln{C_1};\;\ln|y+a|=\ln\left(C_1\cdot|\sin{x}|\right);\;|y+a|=C_1\cdot|\sin{x}|. [/dmath]
Раскрывая модули и переобозначая [math]C=\pm{C_1}[/math] ([math]C\neq{0}[/math]), получим: [math]y=C\sin{x}-a[/math]. Найденное ранее решение [math]y=-a[/math] можно получить из выражения [math]y=C\sin{x}-a[/math], положив [math]C=0[/math].
Ответ
[math]y=C\sin{x}-a[/math], [math]C\in{R}[/math].
