Задача №1834
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(y'\tg{x}-y=a\).
Решение
Подстановкой убеждаемся, что \(y=-a\) – решение данного уравнения. При условии \(y\neq{-a}\) получим:
\[
\tg{x}\frac{dy}{dx}=y+a;\;\frac{dy}{y+a}=\ctg{x}dx.
\]
\[
\int\frac{dy}{y+a}=\int\ctg{x}dx;\;\int\frac{d(y+a)}{y+a}=\int\ctg{x}dx.
\]
При условии \(C_1\gt{0}\) получим:
\[
\ln|y+a|=\ln|\sin{x}|+\ln{C_1};\;\ln|y+a|=\ln\left(C_1\cdot|\sin{x}|\right);\;|y+a|=C_1\cdot|\sin{x}|.
\]
Раскрывая модули и переобозначая \(C=\pm{C_1}\) (\(C\neq{0}\)), получим: \(y=C\sin{x}-a\). Найденное ранее решение \(y=-a\) можно получить из выражения \(y=C\sin{x}-a\), положив \(C=0\).
Ответ:
\(y=C\sin{x}-a\), \(C\in{R}\).