Задача №1831
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(\left(xy^2+x\right)dx+\left(y-x^2y\right)dy=0\).
Решение
Непосредственной проверкой убеждаемся, что \(x=-1\) и \(x=1\) – решения данного уравнения. При условии \(x\neq{\pm{1}}\) получим:
\[
x\left(y^2+1\right)dx+y\left(1-x^2\right)dy=0;\;\frac{ydy}{y^2+1}=\frac{xdx}{x^2-1}.
\]
\[
\int\frac{ydy}{y^2+1}=\int\frac{xdx}{x^2-1};\;\int\frac{d\left(y^2+1\right)}{y^2+1}=\int\frac{d\left(x^2-1\right)}{x^2-1}.
\]
При \(C_1\gt{0}\) получим:
\[
\ln\left|y^2+1\right|=\ln\left|x^2-1\right|+\ln{C_1};\;\ln\left|y^2+1\right|=\ln\left(C_1\cdot\left|x^2-1\right|\right);\;\left|y^2+1\right|=C_1\left|x^2-1\right|.
\]
Раскрывая модули и переобозначая \(C=\pm{C_1}\) (здесь \(C\neq{0}\)), получим: \(y^2+1=C\left(x^2-1\right)\).
Ответ:
\(y^2+1=C\left(x^2-1\right)\), \(x=-1\), \(x=1\).