3901-1

Информация о задаче

Задача №3901 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение дифференциального уравнения [math]\left(xy^2+x\right)dx+\left(y-x^2y\right)dy=0[/math].

Решение

Непосредственной проверкой убеждаемся, что [math]x=-1[/math] и [math]x=1[/math] – решения данного уравнения. При условии [math]x\neq{\pm{1}}[/math] получим:

[math] x\left(y^2+1\right)dx+y\left(1-x^2\right)dy=0;\;\frac{ydy}{y^2+1}=\frac{xdx}{x^2-1}. [/math]

[math] \int\frac{ydy}{y^2+1}=\int\frac{xdx}{x^2-1};\;\int\frac{d\left(y^2+1\right)}{y^2+1}=\int\frac{d\left(x^2-1\right)}{x^2-1}. [/math]

При [math]C_1>0[/math] получим:

[math] \ln\left|y^2+1\right|=\ln\left|x^2-1\right|+\ln{C_1};\;\ln\left|y^2+1\right|=\ln\left(C_1\cdot\left|x^2-1\right|\right);\;\left|y^2+1\right|=C_1\left|x^2-1\right|. [/math]

Раскрывая модули и переобозначая [math]C=\pm{C_1}[/math] (здесь [math]C\neq{0}[/math]), получим: [math]y^2+1=C\left(x^2-1\right)[/math].

Ответ

[math]y^2+1=C\left(x^2-1\right)[/math], [math]x=-1[/math], [math]x=1[/math].