3901-1
Информация о задаче
Задача №3901 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее решение дифференциального уравнения [math]\left(xy^2+x\right)dx+\left(y-x^2y\right)dy=0[/math].
Решение
Непосредственной проверкой убеждаемся, что [math]x=-1[/math] и [math]x=1[/math] – решения данного уравнения. При условии [math]x\neq{\pm{1}}[/math] получим:
[dmath] x\left(y^2+1\right)dx+y\left(1-x^2\right)dy=0;\;\frac{ydy}{y^2+1}=\frac{xdx}{x^2-1}. [/dmath]
[dmath] \int\frac{ydy}{y^2+1}=\int\frac{xdx}{x^2-1};\;\int\frac{d\left(y^2+1\right)}{y^2+1}=\int\frac{d\left(x^2-1\right)}{x^2-1}. [/dmath]
При [math]C_1\gt{0}[/math] получим:
[dmath] \ln\left|y^2+1\right|=\ln\left|x^2-1\right|+\ln{C_1};\;\ln\left|y^2+1\right|=\ln\left(C_1\cdot\left|x^2-1\right|\right);\;\left|y^2+1\right|=C_1\left|x^2-1\right|. [/dmath]
Раскрывая модули и переобозначая [math]C=\pm{C_1}[/math] (здесь [math]C\neq{0}[/math]), получим: [math]y^2+1=C\left(x^2-1\right)[/math].
Ответ
[math]y^2+1=C\left(x^2-1\right)[/math], [math]x=-1[/math], [math]x=1[/math].
- ЮMoney: 41001470069426
- WebMoney: Z207266121363
