3877-1
Информация о задаче
Задача №3877 параграфа №3 главы №13 "Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Вычислить интеграл [math]\iint\limits_{S}xyz\,dq[/math], где [math]S[/math] – часть плоскости [math]x+y+z=1[/math], лежащая в первом октанте.
Решение
Так как [math]z=1-x-y[/math], то [math]dq=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy=\sqrt{3}\,dxdy[/math].
В проекции на плоскость [math]Oxy[/math] получим область, ограниченную прямой [math]y=1-x[/math] и осями координат:
Для области [math]D[/math] имеем: [math]0\le{x}\le{1}[/math], [math]0\le{y}\le{1-x}[/math]. Так как [math]z=1-x-y[/math], то получим:
[dmath] \iint\limits_{S}xyz\,dq =\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}xdx\int\limits_{0}^{1-x}\left(y-xy-y^2\right)dy =\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}x\cdot\left.\left(\frac{y^2}{2}-\frac{xy^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right)\right|_{0}^{1-x}dx=\\ =\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(x\cdot\left(\frac{(1-x)^2}{2}-\frac{x\cdot(1-x)^2}{2}-\frac{(1-x)^3}{3}\right)\right)dx =\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}\right)dx=\\ =\sqrt{3}\cdot\left.\left(-\frac{x^5}{30}+\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{12}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{\sqrt{3}}{120}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{\sqrt{3}}{120}[/math]
