Задача №1830
Условие
Вычислить интеграл \(\iint\limits_{S}xyz\,dq\), где \(S\) – часть плоскости \(x+y+z=1\), лежащая в первом октанте.
Решение
Так как \(z=1-x-y\), то \(dq=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy=\sqrt{3}\,dxdy\).
В проекции на плоскость \(Oxy\) получим область, ограниченную прямой \(y=1-x\) и осями координат:
Для области \(D\) имеем: \(0\le{x}\le{1}\), \(0\le{y}\le{1-x}\). Так как \(z=1-x-y\), то получим:
\[
\iint\limits_{S}xyz\,dq
=\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}xdx\int\limits_{0}^{1-x}\left(y-xy-y^2\right)dy
=\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}x\cdot\left.\left(\frac{y^2}{2}-\frac{xy^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right)\right|_{0}^{1-x}dx=\\
=\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(x\cdot\left(\frac{(1-x)^2}{2}-\frac{x\cdot(1-x)^2}{2}-\frac{(1-x)^3}{3}\right)\right)dx
=\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}\right)dx=\\
=\sqrt{3}\cdot\left.\left(-\frac{x^5}{30}+\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{12}\right)\right|_{0}^{1}
=\frac{\sqrt{3}}{120}.
\]
Ответ:
\(\frac{\sqrt{3}}{120}\)