3877-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3877 параграфа №3 главы №13 "Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\iint\limits_{S}xyz\,dq[/math], где [math]S[/math] – часть плоскости [math]x+y+z=1[/math], лежащая в первом октанте.

Решение

Так как [math]z=1-x-y[/math], то [math]dq=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy=\sqrt{3}\,dxdy[/math].

В проекции на плоскость [math]Oxy[/math] получим область, ограниченную прямой [math]y=1-x[/math] и осями координат:

3877-1.png

Для области [math]D[/math] имеем: [math]0\le{x}\le{1}[/math], [math]0\le{y}\le{1-x}[/math]. Так как [math]z=1-x-y[/math], то получим:

[math] \iint\limits_{S}xyz\,dq =\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}xdx\int\limits_{0}^{1-x}\left(y-xy-y^2\right)dy =\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}x\cdot\left.\left(\frac{y^2}{2}-\frac{xy^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right)\right|_{0}^{1-x}dx=\\ =\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(x\cdot\left(\frac{(1-x)^2}{2}-\frac{x\cdot(1-x)^2}{2}-\frac{(1-x)^3}{3}\right)\right)dx =\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}\right)dx=\\ =\sqrt{3}\cdot\left.\left(-\frac{x^5}{30}+\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{12}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{\sqrt{3}}{120}. [/math]

Ответ

[math]\frac{\sqrt{3}}{120}[/math]