3862-1
Информация о задаче
Задача №3862 параграфа №2 главы №13 "Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
При помощи криволинейного интеграла вычислить площадь, ограниченную астроидой [math]x=a\cos^3{t}[/math], [math]y=a\sin^3{t}[/math].
Решение
Для области, которую ограничивает астроида в первой четверти, имеем [math]0\le{t}\le\frac{\pi}{2}[/math].
[dmath] S=4S_1 =4\cdot\frac{1}{2}\int\limits_{L}xdy-ydx =2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(a\cos^3{t}\cdot{3}a\sin^2{t}\cos{t}-a\sin^3{t}\cdot\left(-3a\cos^2{t}\sin{t}\right) \right)dt=\\ =6a^2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{t}\cos^2{t}dt =\frac{3a^2}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{2t}dt =\frac{3a^2}{4}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos{4t})dt =\frac{3\pi{a^2}}{8}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{3\pi{a^2}}{8}[/math]
