3862-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3862 параграфа №2 главы №13 "Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

При помощи криволинейного интеграла вычислить площадь, ограниченную астроидой [math]x=a\cos^3{t}[/math], [math]y=a\sin^3{t}[/math].

Решение

3862-1.png

Для области, которую ограничивает астроида в первой четверти, имеем [math]0\le{t}\le\frac{\pi}{2}[/math].

[math] S=4S_1 =4\cdot\frac{1}{2}\int\limits_{L}xdy-ydx =2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(a\cos^3{t}\cdot{3}a\sin^2{t}\cos{t}-a\sin^3{t}\cdot\left(-3a\cos^2{t}\sin{t}\right) \right)dt=\\ =6a^2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{t}\cos^2{t}dt =\frac{3a^2}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{2t}dt =\frac{3a^2}{4}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos{4t})dt =\frac{3\pi{a^2}}{8}. [/math]

Ответ

[math]\frac{3\pi{a^2}}{8}[/math]