Задача №1829
Условие
При помощи криволинейного интеграла вычислить площадь, ограниченную астроидой \(x=a\cos^3{t}\), \(y=a\sin^3{t}\).
Решение
Для области, которую ограничивает астроида в первой четверти, имеем \(0\le{t}\le\frac{\pi}{2}\).
\[
S=4S_1
=4\cdot\frac{1}{2}\int\limits_{L}xdy-ydx
=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(a\cos^3{t}\cdot{3}a\sin^2{t}\cos{t}-a\sin^3{t}\cdot\left(-3a\cos^2{t}\sin{t}\right) \right)dt=\\
=6a^2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{t}\cos^2{t}dt
=\frac{3a^2}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{2t}dt
=\frac{3a^2}{4}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos{4t})dt
=\frac{3\pi{a^2}}{8}.
\]
Ответ:
\(\frac{3\pi{a^2}}{8}\)