Задача №1826
Условие
Найти массу участка линии \(y=\ln{x}\) между точками с абсциссами \(x_1\) и \(x_2\), если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.
Решение
Так как область определения функции \(y=\ln{x}\) есть \(D(f)=\left(0;+\infty\right)\), то \(x_1\gt{0}\) и \(x_2\gt{0}\). Для определённости примем \(x_2\gt{x_1}\).
\[
ds=\sqrt{1+(y')^2}dx=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx
\]
Так как плотность \(\gamma = x^2\), то получим:
\[
M=\int\limits_{x_1}^{x_2}x^2\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx
=\int\limits_{x_1}^{x_2}x\sqrt{x^2+1}dx=\\
=\frac{1}{2}\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}d\left(x^2+1\right)
=\frac{1}{3}\cdot\left.\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{x_1}^{x^2}
=\frac{\left(x_{2}^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}-\left(x_{1}^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}
\]
Ответ:
\(\frac{\left(x_{2}^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}-\left(x_{1}^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}\)