Задача №1825
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{L}xy\,ds\), где \(L\) – контур прямоугольника с вершинами \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(4;2)\) и \(D(0;2)\).
Решение
Так как на отрезке \(AB\) имеем \(y=0\), а на отрезке \(AD\) имеем \(x=0\), то \(\int\limits_{AB}xy\,ds=0\) и \(\int\limits_{AD}xy\,ds=0\).
\[
\begin{aligned}
&\int\limits_{BC}xy\,ds
=\left[\begin{aligned}
& x=4;\;x'=0.\\
& ds=\sqrt{1+\left(x'\right)^2}dy=dy.\\
& 0\le{y}\le{2}.
\end{aligned}\right]
=\int\limits_{0}^{2}4y\,dy
=8.\\
&\int\limits_{CD}xy\,ds
=\left[\begin{aligned}
& y=2;\;y'=0.\\
& ds=\sqrt{1+\left(y'\right)^2}dx=dx.\\
& 0\le{x}\le{4}.
\end{aligned}\right]
=\int\limits_{0}^{4}2x\,dx
=16.
\end{aligned}
\]
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int\limits_{L}xy\,ds
=\int\limits_{AB}xy\,ds+\int\limits_{BC}xy\,ds+\int\limits_{CD}xy\,ds+\int\limits_{AD}xy\,ds
=0+8+16+0
=24.
\]
Ответ:
24