3771-1
Информация о задаче
Задача №3771 параграфа №1 главы №13 "Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Вычислить интеграл [math]\int\limits_{L}xy\,ds[/math], где [math]L[/math] – контур прямоугольника с вершинами [math]A(0;0)[/math], [math]B(4;0)[/math], [math]C(4;2)[/math] и [math]D(0;2)[/math].
Решение
Так как на отрезке [math]AB[/math] имеем [math]y=0[/math], а на отрезке [math]AD[/math] имеем [math]x=0[/math], то [math]\int\limits_{AB}xy\,ds=0[/math] и [math]\int\limits_{AD}xy\,ds=0[/math].
[dmath] \begin{aligned} &\int\limits_{BC}xy\,ds =\left[\begin{aligned} & x=4;\;x'=0.\\ & ds=\sqrt{1+\left(x'\right)^2}dy=dy.\\ & 0\le{y}\le{2}. \end{aligned}\right] =\int\limits_{0}^{2}4y\,dy =8.\\ &\int\limits_{CD}xy\,ds =\left[\begin{aligned} & y=2;\;y'=0.\\ & ds=\sqrt{1+\left(y'\right)^2}dx=dx.\\ & 0\le{x}\le{4}. \end{aligned}\right] =\int\limits_{0}^{4}2x\,dx =16. \end{aligned} [/dmath]
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
[dmath] \int\limits_{L}xy\,ds =\int\limits_{AB}xy\,ds+\int\limits_{BC}xy\,ds+\int\limits_{CD}xy\,ds+\int\limits_{AD}xy\,ds =0+8+16+0 =24. [/dmath]
Ответ
24
