3770-1

Информация о задаче

Задача №3770 параграфа №1 главы №13 "Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить криволинейный интеграл [math]\int\limits_{L}\frac{ds}{x-y}[/math], где [math]L[/math] – отрезок прямой [math]y=\frac{1}{2}x-2[/math], заключённый между точками [math]A(0;-2)[/math] и [math]B(4;0)[/math].

Решение

[math] ds=\sqrt{1+(y')^2}dx=\sqrt{1+\frac{1}{4}}dx=\frac{\sqrt{5}dx}{2} [/math]

[math] \int\limits_{L}\frac{ds}{x-y} =\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\int\limits_{0}^{4}\frac{dx}{x-\left(\frac{1}{2}x-2\right)} =\sqrt{5}\cdot\int\limits_{0}^{4}\frac{dx}{x+4}=\\ =\sqrt{5}\cdot\left.\ln(x+4)\right|_{0}^{4} =\sqrt{5}\cdot(\ln{8}-\ln{4}) =\sqrt{5}\ln{2}. [/math]

Ответ

[math]\sqrt{5}\ln{2}[/math]