3770-1
Информация о задаче
Задача №3770 параграфа №1 главы №13 "Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Вычислить криволинейный интеграл [math]\int\limits_{L}\frac{ds}{x-y}[/math], где [math]L[/math] – отрезок прямой [math]y=\frac{1}{2}x-2[/math], заключённый между точками [math]A(0;-2)[/math] и [math]B(4;0)[/math].
Решение
[dmath] ds=\sqrt{1+(y')^2}dx=\sqrt{1+\frac{1}{4}}dx=\frac{\sqrt{5}dx}{2} [/dmath]
[dmath] \int\limits_{L}\frac{ds}{x-y} =\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\int\limits_{0}^{4}\frac{dx}{x-\left(\frac{1}{2}x-2\right)} =\sqrt{5}\cdot\int\limits_{0}^{4}\frac{dx}{x+4}=\\ =\sqrt{5}\cdot\left.\ln(x+4)\right|_{0}^{4} =\sqrt{5}\cdot(\ln{8}-\ln{4}) =\sqrt{5}\ln{2}. [/dmath]
Ответ
[math]\sqrt{5}\ln{2}[/math]
