3738-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3738 параграфа №5 главы №12 "Многомерные интегралы и кратное интегрирование" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-ax^2}}{xe^{x^2}}dx[/math], [math]a\gt{-1}[/math] с помощью дифференцирования по параметру.

Решение

Положим [math]f(a)=\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-ax^2}}{xe^{x^2}}dx[/math]. Тогда дифференцируя по параметру [math]a[/math] (с учётом [math]a\gt{-1}[/math]), получим:

[math] f'(a)=\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{x^2\cdot{e^{-ax^2}}}{xe^{x^2}}dx =\int\limits_{0}^{+\infty}x\cdot{e^{-(a+1)x^2}}dx =-\frac{1}{2\cdot(a+1)}\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{0}^{b}{e^{-(a+1)x^2}}d\left(-(a+1)x^2\right)=\\ =-\frac{1}{2\cdot(a+1)}\lim_{b\to+\infty}\left.e^{-(a+1)x^2}\right|_{0}^{b} =-\frac{1}{2\cdot(a+1)}\lim_{b\to+\infty}\left(\frac{1}{e^{(a+1)\cdot{b^2}}}-1\right) =\frac{1}{2\cdot(a+1)}. [/math]

Так как [math]f'(a)=\frac{1}{2\cdot(a+1)}[/math], то получим:

[math] f(a)=\frac{1}{2}\cdot\int\frac{da}{a+1}=\frac{1}{2}\cdot\ln(a+1)+C [/math]

Чтобы определить значение константы [math]C[/math], найдём значение [math]f(0)[/math]:

[math] f(0)=\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-0\cdot{x^2}}}{xe^{x^2}}dx=0 [/math]

Тогда с учётом [math]f(0)=0[/math], получим:

[math] 0=\frac{1}{2}\cdot\ln(0+1)+C;\;C=0. [/math]

Следовательно, [math]f(a)=\frac{1}{2}\cdot\ln(a+1)[/math].

Ответ

[math]\frac{\ln(a+1)}{2}[/math].