3532-1

Информация о задаче

Задача №3532 параграфа №3 главы №12 "Многомерные интегралы и кратное интегрирование" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Двойной интеграл [math]\int\limits_{0}^{R}dx\int\limits_{0}^{\sqrt{R^2-x^2}}f(x,y)dy[/math] преобразовать к полярным координатам.

Решение

Неравенства [math]0\le{x}\le{R}[/math] и [math]0\le{y}\le\sqrt{R^2-x^2}[/math] определяют область в первой координатной четверти, ограниченную окружностью [math]x^2+y^2=R^2[/math] (центр в начале координат, радиус [math]R[/math]) и осями координат.

В полярной системе координат уравнение окружности будет таким: [math]\rho=R[/math]. Для заданной области имеем: [math]0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}[/math], [math]0\le\rho\le{R}[/math].

[math] \int\limits_{0}^{R}dx\int\limits_{0}^{\sqrt{R^2-x^2}}f(x,y)dy =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int\limits_{0}^{R}\rho{f(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi)}d\rho [/math]

Ответ

[math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int\limits_{0}^{R}\rho{f(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi)}d\rho[/math]