3519-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3519 параграфа №2 главы №12 "Многомерные интегралы и кратное интегрирование" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{0}^{a}dx\int\limits_{0}^{x}dy\int\limits_{0}^{y}xyzdz[/math].

Решение

[math] \int\limits_{0}^{a}xdx\int\limits_{0}^{x}ydy\int\limits_{0}^{y}zdz =\int\limits_{0}^{a}xdx\int\limits_{0}^{x}y\cdot\left.\frac{z^2}{2}\right|_{0}^{y}dy =\frac{1}{2}\cdot\int\limits_{0}^{a}xdx\int\limits_{0}^{x}y^3 dy=\\ =\frac{1}{2}\cdot\int\limits_{0}^{a}x\cdot\left.\frac{y^4}{4}\right|_{0}^{x}dx =\frac{1}{8}\cdot\int\limits_{0}^{a}x^5dx =\frac{1}{8}\cdot\left.\frac{x^6}{6}\right|_{0}^{a} =\frac{a^6}{48}. [/math]

Ответ

[math]\frac{a^6}{48}[/math]