3466-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3466 параграфа №1 главы №12 "Многомерные интегралы и кратное интегрирование" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Оценить интеграл [math]\iint\limits_{D}(x+y+10)d\sigma[/math], где [math]D[/math] - круг [math]x^2+y^2\le{4}[/math].

Решение

Найдём наименьшее и наибольшее значения функции [math]f(x,y)=x+y+10[/math] в области [math]D[/math].

Так как [math]f'_{x}=1[/math] и [math]f'_{y}=1[/math], то система [math]\left\{\begin{aligned}&f'_{x}=0;\\&f'_{y}=0.\end{aligned}\right.[/math] не имеет решений. Рассмотрим функцию [math]f(x,y)[/math] на границе области [math]D[/math]. Применим метод Лагранжа.

[math]F=x+y+10+\lambda\left(x^2+y^2-4\right)[/math]

Так как [math]F'_{x}=1+2\lambda{x}[/math], [math]F'_{y}=1+2\lambda{y}[/math], то получим:

[math] \left\{\begin{aligned} & 1+2\lambda{x}=0;\\ & 1+2\lambda{y}=0;\\ & x^2+y^2=4. \end{aligned}\right. [/math]

Решая эту систему, получим две точки: [math]\left(\sqrt{2};\sqrt{2}\right)[/math], [math]\left(-\sqrt{2};-\sqrt{2}\right)[/math]. Находя значения функции [math]f(x,y)[/math] в полученных точках, запишем наименьшее и наибольшее значения:

[math]f_{\min}=10+2\sqrt{2}[/math], [math]f_{\max}=10-2\sqrt{2}[/math].

Так как площадь области [math]D[/math] (окружности радиуса [math]R=2[/math]) равна [math]4\pi[/math], то:


[math] 8\pi\left(5-\sqrt{2}\right)\le\iint\limits_{D}(x+y+10)d\sigma\le{8\pi\left(5+\sqrt{2}\right)} [/math]


Ответ

[math] 8\pi\left(5-\sqrt{2}\right)\le\iint\limits_{D}(x+y+10)d\sigma\le{8\pi\left(5+\sqrt{2}\right)} [/math]