3448-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3448 параграфа №4 главы №11 "Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Показать, что функция [math]u=\ln\left(x^2+y^2+z^2\right)[/math] удовлетворяет соотношению [math]u=2\ln{2}-\ln(\grad{u})^2[/math].

Решение

[math] \frac{\partial{u}}{\partial{x}} =\frac{2x}{x^2+y^2+z^2} [/math]

[math] \frac{\partial{u}}{\partial{y}} =\frac{2y}{x^2+y^2+z^2} [/math]

[math] \frac{\partial{u}}{\partial{z}} =\frac{2z}{x^2+y^2+z^2} [/math]

[math] \grad{u}=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2}\cdot\bar{i}+\frac{2y}{x^2+y^2+z^2}\cdot\bar{j}+\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}\cdot\bar{k} [/math]

[math](\grad{u})^2=|\grad{u}|^2=\frac{4x^2+4y^2+4z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}=\frac{4}{x^2+y^2+z^2}.[/math]

[math] 2\ln{2}-\ln(\grad{u})^2 =2\ln{2}-\ln\frac{4}{x^2+y^2+z^2} =2\ln{2}-\left(\ln{4}-\ln\left(x^2+y^2+z^2\right)\right) =u. [/math]

Функция [math]u[/math] удовлетворяет заданному соотношению.

Ответ

Утверждение доказано.