Задача №1818
Условие
Показать, что функция \(u=\ln\left(x^2+y^2+z^2\right)\) удовлетворяет соотношению \(u=2\ln{2}-\ln(\grad{u})^2\).
Решение
\[
\frac{\partial{u}}{\partial{x}}
=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2}
\]
\[
\frac{\partial{u}}{\partial{y}}
=\frac{2y}{x^2+y^2+z^2}
\]
\[
\frac{\partial{u}}{\partial{z}}
=\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}
\]
\[
\grad{u}=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2}\cdot\bar{i}+\frac{2y}{x^2+y^2+z^2}\cdot\bar{j}+\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}\cdot\bar{k}
\]
\[(\grad{u})^2=|\grad{u}|^2=\frac{4x^2+4y^2+4z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}=\frac{4}{x^2+y^2+z^2}.\]
\[
2\ln{2}-\ln(\grad{u})^2
=2\ln{2}-\ln\frac{4}{x^2+y^2+z^2}
=2\ln{2}-\left(\ln{4}-\ln\left(x^2+y^2+z^2\right)\right)
=u.
\]
Функция \(u\) удовлетворяет заданному соотношению.
Ответ:
Утверждение доказано.