3448-1
Информация о задаче
Задача №3448 параграфа №4 главы №11 "Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Показать, что функция [math]u=\ln\left(x^2+y^2+z^2\right)[/math] удовлетворяет соотношению [math]u=2\ln{2}-\ln(\grad{u})^2[/math].
Решение
[dmath] \frac{\partial{u}}{\partial{x}} =\frac{2x}{x^2+y^2+z^2} [/dmath]
[dmath] \frac{\partial{u}}{\partial{y}} =\frac{2y}{x^2+y^2+z^2} [/dmath]
[dmath] \frac{\partial{u}}{\partial{z}} =\frac{2z}{x^2+y^2+z^2} [/dmath]
[dmath] \grad{u}=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2}\cdot\bar{i}+\frac{2y}{x^2+y^2+z^2}\cdot\bar{j}+\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}\cdot\bar{k} [/dmath]
[dmath](\grad{u})^2=|\grad{u}|^2=\frac{4x^2+4y^2+4z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}=\frac{4}{x^2+y^2+z^2}.[/dmath]
[dmath] 2\ln{2}-\ln(\grad{u})^2 =2\ln{2}-\ln\frac{4}{x^2+y^2+z^2} =2\ln{2}-\left(\ln{4}-\ln\left(x^2+y^2+z^2\right)\right) =u. [/dmath]
Функция [math]u[/math] удовлетворяет заданному соотношению.
Ответ
Утверждение доказано.
