Задача №1817
Условие
Для поверхности \(z=2x^2-4y^2\) найти уравнения касательной плоскости и нормали в точке \((2;1;4)\).
Решение
\[
\begin{aligned}
& z'_{x}=4x;\;z'_x(2;1)=8.\\
& z'_{y}=-8y;\;z'_y(2;1)=-8.
\end{aligned}
\]
Касательная плоскость:
\[8\cdot(x-2)-8\cdot(y-1)-(z-4)=0\]
\[8x-8y-z-4=0\]
Нормаль: \(\frac{x-2}{8}=\frac{y-1}{-8}=\frac{z-4}{-1}\).
Ответ:
\(8x-8y-z-4=0\), \(\frac{x-2}{8}=\frac{y-1}{-8}=\frac{z-4}{-1}\).