Задача №1816
Условие
Написать уравнения касательной и нормали к линии \(\cos{xy}=x+2y\) в точке \((1,0)\).
Решение
\[F(x,y)=\cos{xy}-x-2y\]
\[
y'=-\frac{F'_{x}}{F'_{y}}
=-\frac{-y\sin{xy}-1}{-x\sin{xy}-2}
=-\frac{y\sin{xy}+1}{x\sin{xy}+2}
\]
В точке \((1,0)\) имеем: \(y'=-\frac{1}{2}\).
Уравнение касательной: \(y-0=-\frac{1}{2}\cdot(x-1)\), \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\).
Уравнение нормали: \(y-0=2\cdot(x-1)\), \(y=2x-2\).
Ответ:
- Касательная: \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)
- Нормаль: \(y=2x-2\)