Задача №1815

Сразу отмечу, что при условии \(a=0\) получим \(x=y=0\). При этом \(z=0\cdot{0}=0\). Дальнейшие рассуждения ведём при условии \(a\neq{0}\). Функция Лагранжа:

Вычитая из первого уравнения второе и раскладывая на множители, получим:

Если \(y=x\), то из третьего уравнения имеем \(x=\pm{a}\), т.е. получаем точки \(M_1(-a;-a)\), \(M_2(a;a)\). При этом \(\lambda=-\frac{1}{2}\).

Если \(\lambda=\frac{1}{2}\), то из первого уравнения имеем \(y=-x\), поэтому из третьего уравнения \(x=\pm{a}\). Получили точки \(M_3(-a;a)\), \(M_4(a;-a)\).

Дифференцируя уравнение связи, получим: \(2xdx+2ydy=0\), откуда \(dy=-\frac{xdx}{y}\). Так как \(F_{xx}^{''}=F_{yy}^{''}=2\lambda\) и \(F_{xy}^{''}=1\), то получим:

В точках \(M_1\) и \(M_2\) получим \(d^2F=-4\lt{0}\), поэтому в данных точках функция \(z(x,y)\) имеет условный максимум, \(z_{\max}=a^2\).

В точках \(M_3\) и \(M_4\) получим \(d^2F=4\gt{0}\), поэтому в данных точках функция \(z(x,y)\) имеет условный минимум, \(z_{\min}=-a^2\).

Отмечу, что характер экстремума в найденных точках можно было выяснить с помощью знака такого определителя (здесь \(\varphi=x^2+y^2-2a^2\)):

Если \(H\lt{0}\), то в рассматриваемой точке функция имеет условный минимум, а если \(H\gt{0}\) – условный максимум. Например, в точке \(M_1(-a;-a)\) получим \(H=16a^2\gt{0}\), поэтому \(M_1\) – точка условного максимума функции \(z(x,y)\).