3292-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3292 параграфа №1 главы №11 "Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Исследовать функцию [math]z=xy[/math] на экстремум при [math]x^2+y^2=2a^2[/math].

Решение

Сразу отмечу, что при условии [math]a=0[/math] получим [math]x=y=0[/math]. При этом [math]z=0\cdot{0}=0[/math]. Дальнейшие рассуждения ведём при условии [math]a\neq{0}[/math]. Функция Лагранжа:

[dmath] F=xy+\lambda\cdot\left(x^2+y^2-2a^2\right) [/dmath]

[math]F_{x}^{'}=y+2\lambda{x}[/math], [math]F_{y}^{'}=x+2\lambda{y}[/math].

[dmath] \left\{\begin{aligned} & y+2\lambda{x}=0;\\ & x+2\lambda{y}=0;\\ &x^2+y^2=2a^2. \end{aligned}\right. [/dmath]

Вычитая из первого уравнения второе и раскладывая на множители, получим:

[dmath] (y-x)\cdot(1-2\lambda)=0. [/dmath]

Если [math]y=x[/math], то из третьего уравнения имеем [math]x=\pm{a}[/math], т.е. получаем точки [math]M_1(-a;-a)[/math], [math]M_2(a;a)[/math]. При этом [math]\lambda=-\frac{1}{2}[/math].

Если [math]\lambda=\frac{1}{2}[/math], то из первого уравнения имеем [math]y=-x[/math], поэтому из третьего уравнения [math]x=\pm{a}[/math]. Получили точки [math]M_3(-a;a)[/math], [math]M_4(a;-a)[/math].

Дифференцируя уравнение связи, получим: [math]2xdx+2ydy=0[/math], откуда [math]dy=-\frac{xdx}{y}[/math]. Так как [math]F_{xx}^{''}=F_{yy}^{''}=2\lambda[/math] и [math]F_{xy}^{''}=1[/math], то получим:

[dmath] d^2F =2\lambda{dx}^2+2dxdy+2\lambda{dy}^2 =2\cdot\left(\lambda-\frac{x}{y}+\frac{\lambda\cdot{x^2}}{y^2}\right)dx^2 [/dmath]

В точках [math]M_1[/math] и [math]M_2[/math] получим [math]d^2F=-4\lt{0}[/math], поэтому в данных точках функция [math]z(x,y)[/math] имеет условный максимум, [math]z_{\max}=a^2[/math].

В точках [math]M_3[/math] и [math]M_4[/math] получим [math]d^2F=4\gt{0}[/math], поэтому в данных точках функция [math]z(x,y)[/math] имеет условный минимум, [math]z_{\min}=-a^2[/math].

Отмечу, что характер экстремума в найденных точках можно было выяснить с помощью знака такого определителя (здесь [math]\varphi=x^2+y^2-2a^2[/math]):

[dmath] H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{'} & \varphi_{y}^{'}\\ \varphi_{x}^{'} & F_{xx}^{''} & F_{xy}^{''} \\ \varphi_{y}^{'} & F_{xy}^{''} & F_{yy}^{''} \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 1 \\ 2y & 1 & 2\lambda \end{array} \right| =8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 1 \\ y & 1 & \lambda \end{array} \right| =8\cdot\left(xy-\lambda{x^2}-\lambda{y^2}\right) [/dmath]

Если [math]H\lt{0}[/math], то в рассматриваемой точке функция имеет условный минимум, а если [math]H\gt{0}[/math] – условный максимум. Например, в точке [math]M_1(-a;-a)[/math] получим [math]H=16a^2\gt{0}[/math], поэтому [math]M_1[/math] – точка условного максимума функции [math]z(x,y)[/math].

Ответ

  • Условный минимум [math]z_{\min}=-a^2[/math] достигается в точках [math](-a;a)[/math] и [math](a;-a)[/math].
  • Условный максимум [math]z_{\max}=a^2[/math] достигается в точках [math](-a;-a)[/math] и [math](a;a)[/math].