Задача №1814
Условие
Найти стационарные точки функции \(z=2x^3+xy^2+5x^2+y^2\).
Решение
\[z'_{x}=6x^2+y^2+10x\]
\[z'_{y}=2xy+2y=2y\cdot(x+1)\]
\[
\left\{\begin{aligned}
& 6x^2+y^2+10x=0;\\
& 2y\cdot(x+1)=0.
\end{aligned}\right.
\]
\[
\left\{\begin{aligned}
& 6x^2+y^2+10x=0;\\
& \left[\begin{aligned}&y=0;\\&x=-1. \end{aligned}\right.
\end{aligned}\right.
\]
Если \(y=0\), то из первого уравнения получим:
\[
6x^2+10x=0;\\
x\cdot(3x+5)=0;\\
x_1=0;\;x_2=-\frac{5}{3}.
\]
Имеем такие стационарные точки: \((0;0)\), \(\left(-\frac{5}{3};0\right)\).
Если \(x=-1\), то из первого уравнения получим:
\[
y^2-4=0;\\
y_1=-2;\;y_2=2.
\]
Получили стационарные точки \((-1;-2)\) и \((-1;2)\).
Ответ:
\((0;0)\), \(\left(-\frac{5}{3};0\right)\), \((-1;-2)\), \((-1;2)\).