3259-1
Информация о задаче
Задача №3259 параграфа №1 главы №11 "Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти стационарные точки функции [math]z=2x^3+xy^2+5x^2+y^2[/math].
Решение
[dmath]z'_{x}=6x^2+y^2+10x[/dmath] [dmath]z'_{y}=2xy+2y=2y\cdot(x+1)[/dmath]
[dmath] \left\{\begin{aligned} & 6x^2+y^2+10x=0;\\ & 2y\cdot(x+1)=0. \end{aligned}\right. [/dmath]
[dmath] \left\{\begin{aligned} & 6x^2+y^2+10x=0;\\ & \left[\begin{aligned}&y=0;\\&x=-1. \end{aligned}\right. \end{aligned}\right. [/dmath]
Если [math]y=0[/math], то из первого уравнения получим:
[dmath] 6x^2+10x=0;\\ x\cdot(3x+5)=0;\\ x_1=0;\;x_2=-\frac{5}{3}. [/dmath]
Имеем такие стационарные точки: [math](0;0)[/math], [math]\left(-\frac{5}{3};0\right)[/math].
Если [math]x=-1[/math], то из первого уравнения получим:
[dmath] y^2-4=0;\\ y_1=-2;\;y_2=2. [/dmath]
Получили стационарные точки [math](-1;-2)[/math] и [math](-1;2)[/math].
Ответ
[math](0;0)[/math], [math]\left(-\frac{5}{3};0\right)[/math], [math](-1;-2)[/math], [math](-1;2)[/math].
