3201-1

Курс
Высшая математика
→ Узнать подробности
Онлайн-занятия
От создателя Решебника
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3201 параграфа №4 главы №10 "Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

[math]u=\ln\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}[/math]; показать, что [math]\frac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{u}}{\partial{y}^2}=0[/math].

Решение

[dmath] u=\ln\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} =-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2\right) [/dmath]

[dmath] \frac{\partial{u}}{\partial{x}} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot{2x} =-\frac{x}{x^2+y^2}. [/dmath]

[dmath] \frac{\partial{u}}{\partial{y}} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot{2y} =-\frac{y}{x^2+y^2}. [/dmath]

[dmath] \frac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2} =-\frac{x^2+y^2-x\cdot{2x}}{\left(x^2+y^2\right)^2} =\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}. [/dmath]

[dmath] \frac{\partial^2{u}}{\partial{y}^2} =-\frac{x^2+y^2-x\cdot{2y}}{\left(x^2+y^2\right)^2} =\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}. [/dmath]


[dmath] \frac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{u}}{\partial{y}^2} =\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} =0. [/dmath]

Ответ

Равенство доказано.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Отблагодарить автора и помочь проекту "Решебник" можно тут:
  • ЮMoney: 41001470069426
  • WebMoney: Z207266121363
Собранные средства расходуются на поддержание работы сайта (доменное имя, хостинг и т.д.).