3201-1
Информация о задаче
Задача №3201 параграфа №4 главы №10 "Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
[math]u=\ln\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}[/math]; показать, что [math]\frac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{u}}{\partial{y}^2}=0[/math].
Решение
[dmath] u=\ln\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} =-\frac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2\right) [/dmath]
[dmath] \frac{\partial{u}}{\partial{x}} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot{2x} =-\frac{x}{x^2+y^2}. [/dmath]
[dmath] \frac{\partial{u}}{\partial{y}} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot{2y} =-\frac{y}{x^2+y^2}. [/dmath]
[dmath] \frac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2} =-\frac{x^2+y^2-x\cdot{2x}}{\left(x^2+y^2\right)^2} =\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}. [/dmath]
[dmath] \frac{\partial^2{u}}{\partial{y}^2} =-\frac{x^2+y^2-x\cdot{2y}}{\left(x^2+y^2\right)^2} =\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}. [/dmath]
[dmath]
\frac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{u}}{\partial{y}^2}
=\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}
=0.
[/dmath]
Ответ
Равенство доказано.
