3201-1

Информация о задаче

Задача №3201 параграфа №4 главы №10 "Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

[math]u=\ln\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}[/math]; показать, что [math]\frac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{u}}{\partial{y}^2}=0[/math].

Решение

[math] u=\ln\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2\right) [/math]

[math] \frac{\partial{u}}{\partial{x}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot{2x} =\frac{x}{x^2+y^2}. [/math]

[math] \frac{\partial{u}}{\partial{y}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot{2y} =\frac{y}{x^2+y^2}. [/math]

[math] \frac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2} =\frac{x^2+y^2-x\cdot{2x}}{\left(x^2+y^2\right)^2} =\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}. [/math]

[math] \frac{\partial^2{u}}{\partial{y}^2} =\frac{x^2+y^2-x\cdot{2y}}{\left(x^2+y^2\right)^2} =\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}. [/math]

[math] \frac{\partial^2{u}}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2{u}}{\partial{y}^2} =\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} =0. [/math]

Ответ

Равенство доказано.