Задача №1812
Условие
Найти производную \(\frac{\partial{y}}{\partial{x}}\) от функции \(ye^x+e^y=0\), заданной неявно.
Решение
Обозначим \(F(x,y)=ye^x+e^y\). С учётом \(e^y=-ye^x\), получим:
\[
\begin{aligned}
& F'_{x}=ye^x;\\
& F'_y=e^x+e^y=e^x-ye^x=-e^x\cdot(y-1).
\end{aligned}
\]
\[
\frac{\partial{y}}{\partial{x}}
=-\frac{F'_{x}}{F'_{y}}
=-\frac{ye^x}{-e^x\cdot(y-1)}
=\frac{y}{y-1}.
\]
Ответ:
\(\frac{y}{y-1}\)