3139-1
Информация о задаче
Задача №3139 параграфа №4 главы №10 "Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
[math]u=\sin{x}+F(\sin{y}-\sin{x})[/math]; убедиться, что
[dmath] \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\cos{x}+\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\sin{x} = \cos{x}\cos{y}, [/dmath]
какова бы ни была дифференцируемая функция [math]F[/math].
Решение
Обозначим [math]v(x,y)=\sin{y}-\sin{x}[/math].
[dmath] \begin{aligned} & \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \cos{x} + \frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cdot\frac{\partial{v}}{\partial{x}} = \cos{x} - \frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cos{x};\\ & \frac{\partial{u}}{\partial{y}} =\frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cdot\frac{\partial{v}}{\partial{y}} =\frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cos{y}. \end{aligned} [/dmath]
[dmath] \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\cos{x}+\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\sin{x} =\frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cos{y}\cos{x} + \left( \cos{x} - \frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cos{x} \right)\cdot\cos{y} =\cos{x}\cos{y} [/dmath]
Равенство доказано.
Ответ
Равенство доказано.
