3003-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №3003 параграфа №2 главы №10 "Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить предел [math]\lim_{\begin{aligned}&x\to{0}\\&y\to{0}\end{aligned}}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}[/math], полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям.

Решение

Полагая [math]t=x^2+y^2[/math] получим [math]t\to{0}[/math]:

[dmath] \lim_{\begin{aligned}&x\to{0}\\&y\to{0}\end{aligned}}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{t}{\sqrt{t+1}-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{t\cdot\left(\sqrt{t+1}+1\right)}{\left(\sqrt{t+1}-1\right)\cdot\left(\sqrt{t+1}+1\right)}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{t\cdot\left(\sqrt{t+1}+1\right)}{t} =\lim_{t\to{0}}\left(\sqrt{t+1}+1\right) =2. [/dmath]

Ответ

2

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).