Задача №1809
Условие
Вычислить предел \(\lim_{\begin{aligned}&x\to{0}\\&y\to{0}\end{aligned}}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}\), полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям.
Решение
Полагая \(t=x^2+y^2\) получим \(t\to{0}\):
\[
\lim_{\begin{aligned}& x\to{0}\\& y\to{0}\end{aligned}}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{t}{\sqrt{t+1}-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{t\cdot\left(\sqrt{t+1}+1\right)}{\left(\sqrt{t+1}-1\right)\cdot\left(\sqrt{t+1}+1\right)}=\\
=\lim_{t\to{0}}\frac{t\cdot\left(\sqrt{t+1}+1\right)}{t}
=\lim_{t\to{0}}\left(\sqrt{t+1}+1\right)
=2.
\]
Ответ:
2