3003-1

Информация о задаче

Задача №3003 параграфа №2 главы №10 "Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить предел [math]\lim_{x\to{0}\\y\to{0}}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}[/math], полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям.

Решение

Полагая [math]t=x^2+y^2[/math] получим [math]t\to{0}[/math]:

[math] \lim_{x\to{0}\\y\to{0}}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{t}{\sqrt{t+1}-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{t\cdot\left(\sqrt{t+1}+1\right)}{\left(\sqrt{t+1}-1\right)\cdot\left(\sqrt{t+1}+1\right)}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{t\cdot\left(\sqrt{t+1}+1\right)}{t} =\lim_{t\to{0}}\left(\sqrt{t+1}+1\right) =2. [/math]

Ответ

2