2964-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2964 параграфа №1 главы №10 "Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Проверить, что функция [math]z=F(x,y)=\ln{x}\ln{y}[/math] удовлетворяет функциональному уравнению [math]F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)[/math] ([math]x[/math], [math]y[/math], [math]u[/math], [math]v[/math] положительны).

Решение

Покажем, что правая часть данного уравнения при подстановке заданной функции равна левой части.

[math] F(xy,uv) =\ln{xy}\cdot\ln{uv} =\left(\ln{x}+\ln{y}\right)\cdot\left(\ln{u}+\ln{v}\right)=\\ =\ln{x}\ln{u}+\ln{x}\ln{v}+\ln{y}\ln{u}+\ln{y}\ln{v} =F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v). [/math]

Ответ

Заданная функция удовлетворяет данному уравнению.