Задача №1808
Условие
Проверить, что функция \(z=F(x,y)=\ln{x}\ln{y}\) удовлетворяет функциональному уравнению \(F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)\) (\(x\), \(y\), \(u\), \(v\) положительны).
Решение
Покажем, что правая часть данного уравнения при подстановке заданной функции равна левой части.
\[
F(xy,uv)
=\ln{xy}\cdot\ln{uv}
=\left(\ln{x}+\ln{y}\right)\cdot\left(\ln{u}+\ln{v}\right)=\\
=\ln{x}\ln{u}+\ln{x}\ln{v}+\ln{y}\ln{u}+\ln{y}\ln{v}
=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).
\]
Ответ:
Заданная функция удовлетворяет данному уравнению.