Задача №1807
Условие
Вычислить интеграл \(\int\limits_{0}^{0{,}5}\frac{dx}{1+x^4}\).
Решение
\[
\frac{1}{1+x^4}
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(x^4\right)^n
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{4n}
\]
\[
\int\limits_{0}^{0{,}5}\frac{dx}{1+x^4}
=\int\limits_{0}^{0{,}5}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{4n}dx
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int\limits_{0}^{0{,}5}x^{4n}dx=\\
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\left.\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\right|_{0}^{1/2}
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{4n+1}\cdot(4n+1)}
=\frac{1}{2}-\frac{1}{160}+\frac{1}{4608}-\ldots
\]
Так как \(\frac{1}{4608}\lt{0{,}001}\), то для требуемой точности достаточно взять первые два члена ряда:
\[
\int\limits_{0}^{0{,}5}\frac{dx}{1+x^4}
\approx{\frac{1}{2}-\frac{1}{160}}
=\frac{79}{160}\approx{0{,}494}.
\]
Ответ:
\(0{,}494\)