2938-1

Информация о задаче

Задача №2838 параграфа №4 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{0}^{0{,}5}\frac{dx}{1+x^4}[/math].

Решение

[dmath] \frac{1}{1+x^4} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(x^4\right)^n =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{4n} [/dmath]

[dmath] \int\limits_{0}^{0{,}5}\frac{dx}{1+x^4} =\int\limits_{0}^{0{,}5}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{4n}dx =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int\limits_{0}^{0{,}5}x^{4n}dx=\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\left.\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\right|_{0}^{1/2} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{4n+1}\cdot(4n+1)} =\frac{1}{2}-\frac{1}{160}+\frac{1}{4608}-\ldots [/dmath]

Так как [math]\frac{1}{4608}\lt{0{,}001}[/math], то для требуемой точности достаточно взять первые два члена ряда:

[dmath] \int\limits_{0}^{0{,}5}\frac{dx}{1+x^4} \approx{\frac{1}{2}-\frac{1}{160}} =\frac{79}{160}\approx{0{,}494}. [/dmath]

Ответ

[math]0{,}494[/math]