Задача №1806
Условие
Пользуясь формулой разложения в ряд Маклорена функций \(e^x\), \(\sin{x}\), \(\cos{x}\), вычислить \(\frac{1}{e}\) с точностью до \(0{,}0001\).
Решение
Используем формулу \(e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\). Подставляя \(x=-1\), будем иметь:
\[
\frac{1}{e}
=e^{-1}
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}
=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...
\]
Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Так как \(\frac{1}{8!}\lt{0{,}0001}\), то для заданной точности достаточно найти сумму первых восьми членов полученного числового ряда:
\[
\frac{1}{e}
\approx\sum\limits_{n=0}^{7}\frac{(-1)^n}{n!}
=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{1}{120}+\frac{1}{720}-\frac{1}{5040}
\approx{0{,}3679}.
\]
Ответ:
\(0{,}3679\)