2899-1

Информация о задаче

Задача №2899 параграфа №4 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Пользуясь формулой разложения в ряд Маклорена функций [math]e^x[/math], [math]\sin{x}[/math], [math]\cos{x}[/math], вычислить [math]\frac{1}{e}[/math] с точностью до [math]0{,}0001[/math].

Решение

Используем формулу [math]e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}[/math]. Подставляя [math]x=-1[/math], будем иметь:

[math] \frac{1}{e} =e^{-1} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!} =1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+... [/math]

Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Так как [math]\frac{1}{8!}\lt{0{,}0001}[/math], то для заданной точности достаточно найти сумму первых восьми членов полученного числового ряда:

[math] \frac{1}{e} \approx\sum\limits_{n=0}^{7}\frac{(-1)^n}{n!} =\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{1}{120}+\frac{1}{720}-\frac{1}{5040} \approx{0{,}3679}. [/math]

Ответ

[math]0{,}3679[/math]