Задача №1805
Условие
Разложить функцию \(y=\frac{1}{x}\) в ряд Тейлора в окрестности точки \(x=3\).
Решение
\[y(3)=\frac{1}{3}\]
Найдём формулу для \(y^{(n)}\):
\[
\begin{aligned}
& y'=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2};\\
& y''=-1\cdot(-2)\cdot{x^{-3}};\\
& y'''=-1\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot{x^{-4}}.
\end{aligned}
\]
На основании полученных результатов сделаем предположение, что производная n-го порядка имеет такой вид:
\[y^{(n)}=-1\cdot(-2)\cdot\ldots\cdot{x^{-(n+1)}}=(-1)^n\cdot{n!}\cdot{x^{-(n+1)}}\]
Докажем эту гипотезу методом математической индукции. При \(n=1\) формула верна, т.е. \(y'=-1\cdot{1!}\cdot{x^{-2}}=-\frac{1}{x^2}\). Пусть формула верна при \(n=k\), т.е \(y^{(k)}=(-1)^k\cdot{k!}\cdot{x^{-(k+1)}}\). Покажем, что формула остаётся истинной и при \(n=k+1\):
\[
y^{(k+1)}
=\left(y^{(k)}\right)'
=\left((-1)^k\cdot{k!}\cdot{x^{-(k+1)}}\right)'
=(-1)^k\cdot{k!}\cdot(-(k+1)){x^{-(k+1)-1}}
=(-1)^{k+1}\cdot{(k+1)!}\cdot{x^{-(k+2)}}
\]
Итак, формула для \(y^{(n)}\) верна при всех \(n\in{N}\). Подставляя \(x=3\), будем иметь:
\[y^{(n)}(3)=\frac{(-1)^n\cdot{n!}}{3^{n+1}}\]
Запишем разложение функции в ряд Тейлора:
\[
y=y(3)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{y^{(n)}(3)\cdot(x-3)^n}{n!}
=\frac{1}{3}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}}
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}}
\]
Ответ:
\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}}\)