2843-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2843 параграфа №3 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Разложить функцию [math]y=\frac{1}{x}[/math] в ряд Тейлора в окрестности точки [math]x=3[/math].

Решение

[math]y(3)=\frac{1}{3}[/math]

Найдём формулу для [math]y^{(n)}[/math]:

[math] \begin{aligned} & y'=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2};\\ & y''=-1\cdot(-2)\cdot{x^{-3}};\\ & y'''=-1\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot{x^{-4}}. \end{aligned} [/math]

На основании полученных результатов сделаем предположение, что производная n-го порядка имеет такой вид:

[math]y^{(n)}=-1\cdot(-2)\cdot\ldots\cdot{x^{-(n+1)}}=(-1)^n\cdot{n!}\cdot{x^{-(n+1)}}[/math]

Докажем эту гипотезу методом математической индукции. При [math]n=1[/math] формула верна, т.е. [math]y'=-1\cdot{1!}\cdot{x^{-2}}=-\frac{1}{x^2}[/math]. Пусть формула верна при [math]n=k[/math], т.е [math]y^{(k)}=(-1)^k\cdot{k!}\cdot{x^{-(k+1)}}[/math]. Покажем, что формула остаётся истинной и при [math]n=k+1[/math]:

[math] y^{(k+1)} =\left(y^{(k)}\right)' =\left((-1)^k\cdot{k!}\cdot{x^{-(k+1)}}\right)' =(-1)^k\cdot{k!}\cdot(-(k+1)){x^{-(k+1)-1}} =(-1)^{k+1}\cdot{(k+1)!}\cdot{x^{-(k+2)}} [/math]

Итак, формула для [math]y^{(n)}[/math] верна при всех [math]n\in{N}[/math]. Подставляя [math]x=3[/math], будем иметь:

[math]y^{(n)}(3)=\frac{(-1)^n\cdot{n!}}{3^{n+1}}[/math]

Запишем разложение функции в ряд Тейлора:

[math] y=y(3)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{y^{(n)}(3)\cdot(x-3)^n}{n!} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}} [/math]

Ответ

[math]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}}[/math]