2840-1

Информация о задаче

Задача №2840 параграфа №2 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Убедиться, что функция [math]y=f(x)[/math], определяемая рядом [math]x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{(n-1)!}+\ldots[/math] удовлетворяет соотношению [math]xy'=y(x+1)[/math].

Решение

В принципе, несложно показать, что данный степенной ряд сходится при [math]x\in{R}[/math], посему он почленно дифференцируем на R. Затем можно непосредственно проверить равенство указанное в условии, записав, для краткости, [math]f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}[/math]:

[math] xy'=x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)x^{n}}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}(n+1)}{n!};\\ y(x+1)=(x+1)\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n-1)!}+x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}=\\ =x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n+1}+x^{n+1}}{n!} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}(n+1)}{n!}. [/math]

Однако такие преобразования мне вовсе не кажутся очевидными. Гораздо лучше, с моей точки зрения, вспомнить разложение [math]e^x[/math] в ряд Маклорена, записав заданную функцию в такой форме:

[dmath] f(x) =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!} =x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =xe^x [/dmath]

Тогда проверка заданного равенства становится банальной:

[dmath] xy'-y(x+1) =x\left(e^x+xe^x\right)-xe^x(x+1) =0 [/dmath]

Ответ

Утверждение доказано.