Задача №1804
Условие
Убедиться, что функция \(y=f(x)\), определяемая рядом \(x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{(n-1)!}+\ldots\) удовлетворяет соотношению \(xy'=y(x+1)\).
Решение
В принципе, несложно показать, что данный степенной ряд сходится при \(x\in{R}\), посему он почленно дифференцируем на R. Затем можно непосредственно проверить равенство указанное в условии, записав, для краткости, \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}\):
\[
xy'=x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)x^{n}}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}(n+1)}{n!};\\
y(x+1)=(x+1)\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}
=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n-1)!}+x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}=\\
=x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n+1}+x^{n+1}}{n!}
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}(n+1)}{n!}.
\]
Однако такие преобразования мне вовсе не кажутся очевидными. Гораздо лучше, с моей точки зрения, вспомнить разложение \(e^x\) в ряд Маклорена, записав заданную функцию в такой форме:
\[
f(x)
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}
=x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
=xe^x
\]
Тогда проверка заданного равенства становится банальной:
\[
xy'-y(x+1)
=x\left(e^x+xe^x\right)-xe^x(x+1)
=0
\]
Ответ:
Утверждение доказано.