2812-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2812 параграфа №2 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Определить область сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}x^n\tg\frac{x}{2^n}[/math].

Решение

Общий член ряда: [math]u_n(x)=x^n\tg\frac{x}{2^n}[/math]. Выясним, при каких значениях переменной [math]x[/math] определены функции [math]u_n(x)[/math]. Для этого найдём точки, в которых [math]\tg\frac{x}{2^n}[/math] не существует:

[dmath] \frac{x}{2^n}=\frac{\pi}{2}+\pi{k};\;k\in{Z}.\\ x=2^n\left(\frac{\pi}{2}+\pi{k}\right);\;k\in{Z};\;n\in{N}. [/dmath]

Итак, если [math]x=2^n\left(\frac{\pi}{2}+\pi{k}\right)[/math], то одна из функций [math]u_n(x)[/math] будет не определена. Обозначим множество всех найденных чисел как [math]D[/math], т.е.

[dmath] D=\left\{x\left| x=2^n\left(\frac{\pi}{2}+\pi{k}\right);\;k\in{Z};\;n\in{N}.\right.\right\} [/dmath]

Таким образом, функции [math]u_n(x)[/math] определены на множестве [math]X=R\setminus{D}[/math].

В дальнейшем нам придётся, применяя признак Д'Аламбера к ряду [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math], найти предел выражения [math]\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|[/math]. Признак Д'Аламбера применим, если начиная с некоего номера [math]n_0[/math] члены ряда строго положительны.

Если [math]x=0[/math], то [math]u_n(x)=0[/math], т.е. ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math] сходится.

Если же [math]x\in{X}\setminus\{0\}[/math], то, очевидно, найдётся такой номер [math]n_0[/math], начиная с которого будет выполнено неравенство [math]\frac{|x|}{2^n}\lt\frac{\pi}{2}[/math], т.е. [math]-\frac{\pi}{2}\lt\frac{x}{2^n}\lt\frac{\pi}{2}[/math]. Например, если [math]n\ge\Bigl[\log_2|x|\Bigr][/math], то [math]\frac{|x|}{2^n}\le{1}\lt\frac{\pi}{2}[/math]. Это значит, что начиная с номера [math]n_0=\Bigl[\log_2|x|\Bigr][/math] имеем [math]\tg\frac{x}{2^n}\neq{0}[/math], откуда следует [math]u_n(x)\neq{0}[/math].

Таким образом, мы можем применить к ряду [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math] признак Д'Аламбера при условии [math]x\in{X}\setminus\{0\}[/math].

[dmath] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}\tg\frac{x}{2^{n+1}}}{x^n\tg\frac{x}{2^n}}\right| =|x|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{\tg\frac{x}{2^{n+1}}}{\frac{x}{2^{n+1}}}}{\frac{\tg\frac{x}{2^{n}}}{\frac{x}{2^{n}}}}\cdot\frac{1}{2}\right| =\frac{|x|}{2}. [/dmath]

Рассмотрим сперва случай [math]\frac{|x|}{2}\lt{1}[/math], т.е. [math]-2\lt{x}\lt{2}[/math].

Если [math]x\in(-2;2)[/math] и [math]x\in{X}\setminus\{0\}[/math], то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math] сходится, поэтому исходный ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] сходится абсолютно.

Условие [math]x\in{X}\setminus\{0\}[/math] можно изменить. При [math]x=0[/math] ряд сходится, поэтому исключать точку [math]x=0[/math] из интервала [math](-2;2)[/math] сейчас уже нет необходимости. А вот в чём есть необходимость, так это в том, чтобы на полученный интервал [math](-2;2)[/math] не попали точки из множества [math]D[/math]. Проверим, может ли при неких значениях [math]n\in{N}[/math] и [math]k\in{Z}[/math] некий элемент множества [math]D[/math] принадлежать рассматриваемому интервалу:

[dmath] \left|2^n\left(\frac{\pi}{2}+\pi{k}\right)\right|\lt{2}\;\Leftrightarrow \left|k+\frac{1}{2}\right|\lt\frac{1}{\pi\cdot{2^{n-1}}}. [/dmath]

Так как [math]n\in{N}[/math] и [math]k\in{Z}[/math], то [math]\left|k+\frac{1}{2}\right|\ge\frac{1}{2}[/math], [math]\frac{1}{\pi\cdot{2^{n-1}}}\le\frac{1}{\pi}[/math]. Так как [math]\frac{1}{2}\gt\frac{1}{\pi}[/math], то неравенство [math]\left|k+\frac{1}{2}\right|\lt\frac{1}{\pi\cdot{2^{n-1}}}[/math] не может быть истинным ни при каких значениях [math]n\in{N}[/math] и [math]k\in{Z}[/math].

Это значит, что [math](-2;2)\subset{X}[/math], что и требовалось выяснить. Итак, если [math]x\in(-2;2)[/math], то функциональный ряд сходится абсолютно.

Если же [math]\frac{|x|}{2}\gt{1}[/math] и [math]x\in{X}[/math], то (см. доказательство признака Д'Аламбера) имеем [math]\lim_{n\to\infty}\left|u_n(x)\right|\neq{0}[/math], т.е. [math]\lim_{n\to\infty}u_n(x)\neq{0}[/math], что означает расходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.

Осталось проверить сходимость на концах интервала [math](-2;2)[/math].

Если [math]x=2[/math], то получим:

[dmath] \sum\limits_{n=1}^{\infty}x^n\tg\frac{x}{2^n} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}2^n\tg\frac{1}{2^{n-1}} [/dmath]

Проверим выполнение необходимого условия сходимости:

[dmath] \lim_{n\to\infty}\left(2^n\tg\frac{1}{2^{n-1}}\right) =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\tg\frac{1}{2^{n-1}}}{\frac{1}{2^{n-1}}}\cdot{2}\right) =2 [/dmath]

Так как [math]2\neq{0}[/math], то ряд расходится.


Если [math]x=-2[/math], то получим:

[dmath] \sum\limits_{n=1}^{\infty}x^n\tg\frac{x}{2^n} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left((-1)^{n+1}\cdot{2}^n\tg\frac{1}{2^{n-1}}\right) [/dmath]

Так как [math]\lim_{n\to\infty}\left(2^n\tg\frac{1}{2^{n-1}}\right)\neq{0}[/math], то ряд расходится.

Таким образом, подводя итоги, имеем, что область сходимости есть интервал [math](-2;2)[/math].

Ответ

[math](-2;2)[/math]