Задача №1803

Общий член ряда: \(u_n(x)=x^n\tg\frac{x}{2^n}\). Выясним, при каких значениях переменной \(x\) определены функции \(u_n(x)\). Для этого найдём точки, в которых \(\tg\frac{x}{2^n}\) не существует:

Итак, если \(x=2^n\left(\frac{\pi}{2}+\pi{k}\right)\), то одна из функций \(u_n(x)\) будет не определена. Обозначим множество всех найденных чисел как \(D\), т.е.

Таким образом, функции \(u_n(x)\) определены на множестве \(X=R\setminus{D}\).

В дальнейшем нам придётся, применяя признак Д'Аламбера к ряду \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|\), найти предел выражения \(\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|\). Признак Д'Аламбера применим, если начиная с некоего номера \(n_0\) члены ряда строго положительны.

Если \(x=0\), то \(u_n(x)=0\), т.е. ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|\) сходится.

Если же \(x\in{X}\setminus\{0\}\), то, очевидно, найдётся такой номер \(n_0\), начиная с которого будет выполнено неравенство \(\frac{|x|}{2^n}\lt\frac{\pi}{2}\), т.е. \(-\frac{\pi}{2}\lt\frac{x}{2^n}\lt\frac{\pi}{2}\). Например, если \(n\ge\Bigl[\log_2|x|\Bigr]\), то \(\frac{|x|}{2^n}\le{1}\lt\frac{\pi}{2}\). Это значит, что начиная с номера \(n_0=\Bigl[\log_2|x|\Bigr]\) имеем \(\tg\frac{x}{2^n}\neq{0}\), откуда следует \(u_n(x)\neq{0}\).

Таким образом, мы можем применить к ряду \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|\) признак Д'Аламбера при условии \(x\in{X}\setminus\{0\}\).

Рассмотрим сперва случай \(\frac{|x|}{2}\lt{1}\), т.е. \(-2\lt{x}\lt{2}\).

Если \(x\in(-2;2)\) и \(x\in{X}\setminus\{0\}\), то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|\) сходится, поэтому исходный ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) сходится абсолютно.

Условие \(x\in{X}\setminus\{0\}\) можно изменить. При \(x=0\) ряд сходится, поэтому исключать точку \(x=0\) из интервала \((-2;2)\) сейчас уже нет необходимости. А вот в чём есть необходимость, так это в том, чтобы на полученный интервал \((-2;2)\) не попали точки из множества \(D\). Проверим, может ли при неких значениях \(n\in{N}\) и \(k\in{Z}\) некий элемент множества \(D\) принадлежать рассматриваемому интервалу:

Так как \(n\in{N}\) и \(k\in{Z}\), то \(\left|k+\frac{1}{2}\right|\ge\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{\pi\cdot{2^{n-1}}}\le\frac{1}{\pi}\). Так как \(\frac{1}{2}\gt\frac{1}{\pi}\), то неравенство \(\left|k+\frac{1}{2}\right|\lt\frac{1}{\pi\cdot{2^{n-1}}}\) не может быть истинным ни при каких значениях \(n\in{N}\) и \(k\in{Z}\).

Это значит, что \((-2;2)\subset{X}\), что и требовалось выяснить. Итак, если \(x\in(-2;2)\), то функциональный ряд сходится абсолютно.

Если же \(\frac{|x|}{2}\gt{1}\) и \(x\in{X}\), то (см. доказательство признака Д'Аламбера) имеем \(\lim_{n\to\infty}\left|u_n(x)\right|\neq{0}\), т.е. \(\lim_{n\to\infty}u_n(x)\neq{0}\), что означает расходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.

Осталось проверить сходимость на концах интервала \((-2;2)\).

Если \(x=2\), то получим:

Проверим выполнение необходимого условия сходимости:

Так как \(2\neq{0}\), то ряд расходится.

Если \(x=-2\), то получим:

Так как \(\lim_{n\to\infty}\left(2^n\tg\frac{1}{2^{n-1}}\right)\neq{0}\), то ряд расходится.

Таким образом, подводя итоги, имеем, что область сходимости есть интервал \((-2;2)\).