2809-1
Информация о задаче
Задача №2809 параграфа №2 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Определить область сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+\sqrt{n}}[/math].
Решение
Это степенной ряд. Обозначим [math]a_n=\frac{1}{n+\sqrt{n}}[/math], тогда [math]a_{n+1}=\frac{1}{n+1+\sqrt{n+1}}[/math]. Радиус сходимости будет таким:
[dmath] R =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1+\sqrt{n+1}}{n+\sqrt{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} =1. [/dmath]
Интервал сходимости: [math]-1\lt{x}\lt{1}[/math].
Если [math]x=1[/math], то [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}[/math].
[dmath]\frac{1}{n+\sqrt{n}}\ge\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}[/dmath].
Гармонический ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math] расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}[/math].
Если [math]x=-1[/math], то получим знакочередующийся ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+\sqrt{n}}[/math]. Так как [math]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}=0[/math] и [math]\frac{1}{n+\sqrt{n}}\gt\frac{1}{n+1+\sqrt{n+1}}[/math], то для данного ряда выполнены оба условия признака Лейбница, т.е. ряд сходится. Стоит отметить, что из расходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}[/math] следует, что ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+\sqrt{n}}[/math] сходится условно.
Следовательно, область сходимости будет такой: [math]-1\le{x}\lt{1}[/math].
Ответ
[math]-1\le{x}\lt{1}[/math]
