Задача №1801
Условие
Определить область сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n\).
Решение
Это степенной ряд. Обозначим \(a_n=n(n+1)\), тогда \(a_{n+1}=(n+1)(n+2)\). Радиус сходимости будет таким:
\[
R
=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|
=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)}
=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}
=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}
=1
\]
Интервал сходимости: \(-1\lt{x}\lt{1}\).
Если \(x=1\), то \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)\). Так как \(\lim_{n\to\infty}n(n+1)\neq{0}\), то данный ряд расходится вследствие невыполнения необходимого условия сходимости.
Если \(x=-1\), то получим знакочередующийся ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}n(n+1)\). Так как \(\lim_{n\to\infty}n(n+1)\neq{0}\), то данный ряд расходится.
Следовательно, область сходимости будет такой: \(-1\lt{x}\lt{1}\).
Ответ:
\(-1\lt{x}\lt{1}\)