2808-1
Информация о задаче
Задача №2808 параграфа №2 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Определить область сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n[/math].
Решение
Это степенной ряд. Обозначим [math]a_n=n(n+1)[/math], тогда [math]a_{n+1}=(n+1)(n+2)[/math]. Радиус сходимости будет таким:
[dmath] R =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{n}} =1 [/dmath]
Интервал сходимости: [math]-1\lt{x}\lt{1}[/math].
Если [math]x=1[/math], то [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)[/math]. Так как [math]\lim_{n\to\infty}n(n+1)\neq{0}[/math], то данный ряд расходится вследствие невыполнения необходимого условия сходимости.
Если [math]x=-1[/math], то получим знакочередующийся ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}n(n+1)[/math]. Так как [math]\lim_{n\to\infty}n(n+1)\neq{0}[/math], то данный ряд расходится.
Следовательно, область сходимости будет такой: [math]-1\lt{x}\lt{1}[/math].
Ответ
[math]-1\lt{x}\lt{1}[/math]
