2807-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2807 параграфа №2 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Определить область сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+x^n}[/math].

Решение

Функции [math]u_n=\frac{1}{1+x^n}[/math] при чётных [math]n[/math] определены на [math]R[/math], а при нечётных значениях [math]n[/math] определены на множестве [math]X=R\setminus\{-1\}[/math]. Соответственно, исследовать на сходимость заданный ряд станем при [math]x\in{X}[/math].

Рассмотрим ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math] при условии [math]x\in{X}[/math]. Применим признак Д'Аламбера:

[dmath] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right| [/dmath]

Если [math]|x|\gt{1}[/math], то будем иметь:

[dmath] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{x^n}+1}{\frac{1}{x^n}+x}\right| =\frac{1}{|x|} [/dmath]

При [math]|x|\gt{1}[/math] имеем [math]\frac{1}{|x|}\lt{1}[/math], т.е. ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math] сходится, посему исходный ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] сходится абсолютно.


Если же [math]|x|\lt{1}[/math], то [math]x^n\to{0}[/math], поэтому [math]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right|=1[/math]. Отмечу, что тот же результат получим при условии [math]x=1[/math]. Признак Д'Аламбера не даёт ответа на вопрос сходимости ряда. Проверим выполнение необходимого условия сходимости. Если [math]|x|\lt{1}[/math], то имеем:

[dmath] \lim_{n\to\infty}u_n(x) =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+x^n} =1. [/dmath]

При [math]x=1[/math] имеем:

[dmath] \lim_{n\to\infty}u_n(x) =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+1^n} =\frac{1}{2}. [/dmath]

Итак, если [math]|x|\lt{1}[/math] или [math]x=1[/math], то необходимое условие сходимости не выполнено, поэтому ряд расходится.

Следовательно, ряд сходится (абсолютно) при [math]|x|\gt{1}[/math], т.е. [math]x\in(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/math].

Ответ

[math](-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)[/math]

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).