Задача №1800

Функции \(u_n=\frac{1}{1+x^n}\) при чётных \(n\) определены на \(R\), а при нечётных значениях \(n\) определены на множестве \(X=R\setminus\{-1\}\). Соответственно, исследовать на сходимость заданный ряд станем при \(x\in{X}\).

Рассмотрим ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|\) при условии \(x\in{X}\). Применим признак Д'Аламбера:

Если \(|x|\gt{1}\), то будем иметь:

При \(|x|\gt{1}\) имеем \(\frac{1}{|x|}\lt{1}\), т.е. ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|\) сходится, посему исходный ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) сходится абсолютно.

Если же \(|x|\lt{1}\), то \(x^n\to{0}\), поэтому \(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right|=1\). Отмечу, что тот же результат получим при условии \(x=1\). Признак Д'Аламбера не даёт ответа на вопрос сходимости ряда. Проверим выполнение необходимого условия сходимости. Если \(|x|\lt{1}\), то имеем:

При \(x=1\) имеем:

Итак, если \(|x|\lt{1}\) или \(x=1\), то необходимое условие сходимости не выполнено, поэтому ряд расходится.

Следовательно, ряд сходится (абсолютно) при \(|x|\gt{1}\), т.е. \(x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\).