Задача №1798
Определить область сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}\).
Это степенной ряд. Обозначим \(a_n=\frac{1}{n^2}\), тогда \(a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}\). Радиус сходимости будет таким:
Интервал сходимости: \(-1\lt{x}\lt{1}\).
Если \(x=1\), то \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\). Так как степень \(2\gt{1}\), то данный числовой ряд сходится.
Если \(x=-1\), то получим знакочередующийся ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\). Так как ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) сходится, то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\) сходится абсолютно.
Следовательно, область сходимости будет такой: \(-1\le{x}\le{1}\).