2805-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2805 параграфа №2 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Определить область сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}[/math].

Решение

Это степенной ряд. Обозначим [math]a_n=\frac{1}{n^2}[/math], тогда [math]a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}[/math]. Радиус сходимости будет таким:

[math] R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 =1. [/math]

Интервал сходимости: [math]-1\lt{x}\lt{1}[/math].

Если [math]x=1[/math], то [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math]. Так как степень [math]2\gt{1}[/math], то данный числовой ряд сходится.

Если [math]x=-1[/math], то получим знакочередующийся ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}[/math]. Так как ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math] сходится, то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}[/math] сходится абсолютно.

Следовательно, область сходимости будет такой: [math]-1\le{x}\le{1}[/math].

Ответ

[math]-1\le{x}\le{1}[/math]