2804-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2804 параграфа №2 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Определить область сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}x^{n^2}[/math].

Решение

Общий член ряда: [math]u_n(x)=x^{n^2}[/math]. Функции [math]u_n(x)[/math] определены при [math]x\in{R}[/math]. Применим к ряду [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math] радикальный признак Коши:

[dmath] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n(x)\right|} =\lim_{n\to\infty}|x|^n [/dmath]

Рассмотрим сперва случай [math]|x|\lt{1}[/math], т.е. [math]-1\lt{x}\lt{1}[/math]. В этом случае имеем [math]\lim_{n\to\infty}|x|^n=0[/math], т.е. ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math] сходится, поэтому ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] сходится абсолютно.


Если [math]|x|=1[/math], то [math]x=-1[/math] или [math]x=1[/math]. При [math]x=-1[/math] имеем знакочередующийся ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}[/math], а при [math]x=1[/math] получим ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}1[/math]. Оба указанных выше ряда расходятся ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.


Если же [math]|x|\gt{1}[/math], то [math]\lim_{n\to\infty}|x|^n=\infty[/math], поэтому (см. доказательство радикального признака Коши) имеем [math]\lim_{n\to\infty}\left|u_n(x)\right|\neq{0}[/math], т.е. [math]\lim_{n\to\infty}u_n(x)\neq{0}[/math], что означает расходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.


Таким образом, область сходимости есть интервал [math]\left(-1;1\right)[/math].

Ответ

[math]\left(-1;1\right)[/math]

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).