Задача №1797

Общий член ряда: \(u_n(x)=x^{n^2}\). Функции \(u_n(x)\) определены при \(x\in{R}\). Применим к ряду \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|\) радикальный признак Коши:

Рассмотрим сперва случай \(|x|\lt{1}\), т.е. \(-1\lt{x}\lt{1}\). В этом случае имеем \(\lim_{n\to\infty}|x|^n=0\), т.е. ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|\) сходится, поэтому ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) сходится абсолютно.

Если \(|x|=1\), то \(x=-1\) или \(x=1\). При \(x=-1\) имеем знакочередующийся ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\), а при \(x=1\) получим ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}1\). Оба указанных выше ряда расходятся ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.

Если же \(|x|\gt{1}\), то \(\lim_{n\to\infty}|x|^n=\infty\), поэтому (см. доказательство радикального признака Коши) имеем \(\lim_{n\to\infty}\left|u_n(x)\right|\neq{0}\), т.е. \(\lim_{n\to\infty}u_n(x)\neq{0}\), что означает расходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.

Таким образом, область сходимости есть интервал \(\left(-1;1\right)\).