2803-1

Курс
Высшая математика
→ Узнать подробности
Онлайн-занятия
От создателя Решебника
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2803 параграфа №2 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Определить область сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln^n{x}[/math].

Решение

Общий член ряда: [math]u_n(x)=\ln^n{x}[/math]. Функции [math]u_n(x)[/math] определены при [math]x\gt{0}[/math]. Применим к ряду [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math] радикальный признак Коши:

[dmath] \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n(x)\right|} =|\ln{x}| [/dmath]

Рассмотрим сперва случай [math]|\ln{x}|\lt{1}[/math]:

[dmath] |\ln{x}|\lt{1}\;\Leftrightarrow\; -1\lt\ln{x}\lt{1}\;\Leftrightarrow\; \frac{1}{e}\lt{x}\lt{e}. [/dmath]

Итак, если [math]x\in\left(\frac{1}{e};e\right)[/math], то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|[/math] сходится, поэтому ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] сходится абсолютно.


Если же [math]|\ln{x}|=1[/math], то [math]x=\frac{1}{e}[/math] или [math]x=e[/math]. При [math]x=\frac{1}{e}[/math] имеем ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n[/math], а при [math]x=e[/math] получим ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}1[/math]. Оба указанных выше ряда расходятся ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.


Если же [math]|\ln{x}|\gt{1}[/math], то (см. доказательство радикального признака Коши) имеем [math]\lim_{n\to\infty}\left|u_n(x)\right|\neq{0}[/math], т.е. [math]\lim_{n\to\infty}u_n(x)\neq{0}[/math], что означает расходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)[/math] ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.


Таким образом, область сходимости есть интервал [math]\left(\frac{1}{e};e\right)[/math].

Ответ

[math]\left(\frac{1}{e};e\right)[/math]

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).