2802-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2802 параграфа №2 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Определить область сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n[/math].

Решение

В принципе, можно сразу заметить, что данный ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом [math]b_1=1[/math] и знаменателем [math]q=x[/math]. Соответственно, ряд сходится, если [math]|x|\lt{1}[/math].

Или же можно отметить, что это степенной ряд, для которого [math]a_n=a_{n+1}=1[/math]. Радиус сходимости, соответственно, будет таким:

[dmath] R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| =1. [/dmath]

Интервал сходимости: [math]-1\lt{x}\lt{1}[/math].

На концах интервала сходимости имеем ряды [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}1[/math] и [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n[/math]. Оба данных ряда расходится вследствие невыполнения необходимого условия сходимости.

Следовательно, область сходимости будет такой: [math]-1\lt{x}\lt{1}[/math].

Ответ

[math]-1\lt{x}\lt{1}[/math]

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).