2802-1
Информация о задаче
Задача №2802 параграфа №2 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Определить область сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n[/math].
Решение
В принципе, можно сразу заметить, что данный ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом [math]b_1=1[/math] и знаменателем [math]q=x[/math]. Соответственно, ряд сходится, если [math]|x|\lt{1}[/math].
Или же можно отметить, что это степенной ряд, для которого [math]a_n=a_{n+1}=1[/math]. Радиус сходимости, соответственно, будет таким:
[dmath] R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| =1. [/dmath]
Интервал сходимости: [math]-1\lt{x}\lt{1}[/math].
На концах интервала сходимости имеем ряды [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}1[/math] и [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n[/math]. Оба данных ряда расходится вследствие невыполнения необходимого условия сходимости.
Следовательно, область сходимости будет такой: [math]-1\lt{x}\lt{1}[/math].
Ответ
[math]-1\lt{x}\lt{1}[/math]
