2801-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2801 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Показать, что если ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}[/math] абсолютно сходится, то и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}a_{n}[/math] также абсолютно сходится.

Решение

[math] \left|\frac{n+1}{n}a_{n}\right| =\frac{n+1}{n}\cdot|a_n| ≤\frac{n+n}{n}\cdot|a_n| =2\cdot|a_n| [/math]

Абсолютная сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}[/math] означает, что ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n}|[/math] сходится, посему будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(2\cdot|a_{n}|\right)[/math]. Следовательно, согласно признаку сравнения ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n+1}{n}a_{n}\right|[/math] сходится, что и означает абсолютную сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}a_{n}[/math].

Ответ

Утверждение доказано.