Задача №1794
Условие
Показать, что если ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\) абсолютно сходится, то и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}a_{n}\) также абсолютно сходится.
Решение
\[
\left|\frac{n+1}{n}a_{n}\right|
=\frac{n+1}{n}\cdot|a_n|
\le\frac{n+n}{n}\cdot|a_n|
=2\cdot|a_n|
\]
Абсолютная сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\) означает, что ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n}|\) сходится, посему будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(2\cdot|a_{n}|\right)\). Следовательно, согласно признаку сравнения ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n+1}{n}a_{n}\right|\) сходится, что и означает абсолютную сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}a_{n}\).
Ответ:
Утверждение доказано.