2801-1

Курс
Высшая математика
→ Узнать подробности
Онлайн-занятия
От создателя Решебника
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2801 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Показать, что если ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}[/math] абсолютно сходится, то и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}a_{n}[/math] также абсолютно сходится.

Решение

[dmath] \left|\frac{n+1}{n}a_{n}\right| =\frac{n+1}{n}\cdot|a_n| \le\frac{n+n}{n}\cdot|a_n| =2\cdot|a_n| [/dmath]

Абсолютная сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}[/math] означает, что ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n}|[/math] сходится, посему будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(2\cdot|a_{n}|\right)[/math]. Следовательно, согласно признаку сравнения ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n+1}{n}a_{n}\right|[/math] сходится, что и означает абсолютную сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}a_{n}[/math].

Ответ

Утверждение доказано.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Отблагодарить автора и помочь проекту "Решебник" можно тут:
  • ЮMoney: 41001470069426
  • WebMoney: Z207266121363
Собранные средства расходуются на поддержание работы сайта (доменное имя, хостинг и т.д.).