2800-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2800 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Показать, что если ряды [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}[/math] и [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}[/math] сходятся, то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}{b_n}[/math] абсолютно сходится.

Решение

Из очевидного неравенства [math](|a_n|-|b_n|)^2≥0[/math] имеем:

[math] a_{n}^{2}-2\cdot|{a_n}{b_n}|+b_{n}^{2}≥0;\;\frac{1}{2}\cdot\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)≥|{a_n}{b_n}|. [/math]

Ряды [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}[/math] и [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}[/math] сходятся, поэтому будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\right)[/math]. Из сходимости данного ряда согласно признаку сравнения следует сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}|{a_n}{b_n}|[/math]. Сходимость данного ряда означает абсолютную сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}{b_n}[/math].

Ответ

Утверждение доказано.