2800-1

Курс
Высшая математика
→ Узнать подробности
Онлайн-занятия
От создателя Решебника
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2800 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Показать, что если ряды [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}[/math] и [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}[/math] сходятся, то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}{b_n}[/math] абсолютно сходится.

Решение

Из очевидного неравенства [math](|a_n|-|b_n|)^2\gt{0}[/math] имеем:

[dmath] a_{n}^{2}-2\cdot|{a_n}{b_n}|+b_{n}^{2}\ge{0};\;\frac{1}{2}\cdot\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\ge|{a_n}{b_n}|. [/dmath]

Ряды [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}[/math] и [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}[/math] сходятся, поэтому будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\right)[/math]. Из сходимости данного ряда согласно признаку сравнения следует сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}|{a_n}{b_n}|[/math]. Сходимость данного ряда означает абсолютную сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}{b_n}[/math].

Ответ

Утверждение доказано.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).