Задача №1793
Условие
Показать, что если ряды \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}\) и \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}\) сходятся, то ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}{b_n}\) абсолютно сходится.
Решение
Из очевидного неравенства \((|a_n|-|b_n|)^2\gt{0}\) имеем:
\[
a_{n}^{2}-2\cdot|{a_n}{b_n}|+b_{n}^{2}\ge{0};\;\frac{1}{2}\cdot\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\ge|{a_n}{b_n}|.
\]
Ряды \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}\) и \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}\) сходятся, поэтому будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\right)\). Из сходимости данного ряда согласно признаку сравнения следует сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|{a_n}{b_n}|\). Сходимость данного ряда означает абсолютную сходимость ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}{b_n}\).
Ответ:
Утверждение доказано.