Задача №1791

Докажем, что \(n-\ln{n}\gt{0}\). Рассмотрим функцию \(f(x)=x-\ln{x}\) при \(x\ge{1}\). Так как \(f'(x)=1-\frac{1}{x}\gt{0}\) при \(x\gt{1}\) и \(f(1)\gt{0}\), то \(f(x)\gt{0}\) при \(x\ge{1}\). Следовательно, \(f(n)\gt{0}\), т.е. \(n-\ln{n}\gt{0}\), поэтому заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n-\ln{n}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n-\ln{n}}\). Сравним данный ряд с гармоническим рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\), используя признак сравнения в предельной форме. Перед этим докажем вспомогательный предел, применив правило Лопиталя:

Применяем признак сравнения:

Так как гармонический ряд расходится, то будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n-\ln{n}}\). Проверим выполнение условий признака Лейбница для исходного знакочередующегося ряда. Обозначим \(u_n=\frac{1}{n-\ln{n}}\).

Первое условие выполнено. Для доказательства второго условия рассмотрим функцию \(g(x)=\frac{1}{x-\ln{x}}\) при условии \(x\gt{1}\). Так как \(g'(x)=\frac{1-x}{x\cdot(x-\ln{x})^2}\lt{0}\), то \(g(x)\) убывает. Из убывания функции \(g(x)\) имеем \(g(x)\gt{g(x+1)}\), т.е. \(u_n\gt{u_{n+1}}\). Оба условия признака Лейбница выполнены, но ряд из модулей расходится, поэтому ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n-\ln{n}}\) сходится условно.