2798-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2798 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n-\ln{n}}[/math].

Решение

Докажем, что [math]n-\ln{n}>0[/math]. Рассмотрим функцию [math]f(x)=x-\ln{x}[/math] при [math]x≥1[/math]. Так как [math]f'(x)=1-\frac{1}{x}>0[/math] при [math]x>1[/math] и [math]f(1)>0[/math], то [math]f(x)>0[/math] при [math]x≥1[/math]. Следовательно, [math]f(n)>0[/math], т.е. [math]n-\ln{n}>0[/math], поэтому заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n-\ln{n}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n-\ln{n}}[/math]. Сравним данный ряд с гармоническим рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/math], используя признак сравнения в предельной форме. Перед этим докажем вспомогательный предел, применив правило Лопиталя:

[math] \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln{x}}{x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} =0. [/math]

Применяем признак сравнения:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n-\ln{n}}} =\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\ln{n}}{n}\right) =1-0 =1. [/math]

Так как гармонический ряд расходится, то будет расходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n-\ln{n}}[/math]. Проверим выполнение условий признака Лейбница для исходного знакочередующегося ряда. Обозначим [math]u_n=\frac{1}{n-\ln{n}}[/math].

[math] \lim_{n\to\infty}u_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1-\frac{\ln{n}}{n}}\right) =0. [/math]

Первое условие выполнено. Для доказательства второго условия рассмотрим функцию [math]g(x)=\frac{1}{x-\ln{x}}[/math] при условии [math]x>1[/math]. Так как [math]g'(x)=\frac{1-x}{x\cdot(x-\ln{x})^2}<0[/math], то [math]g(x)[/math] убывает. Из убывания функции [math]g(x)[/math] имеем [math]g(x)>g(x+1)[/math], т.е. [math]u_n>u_{n+1}[/math]. Оба условия признака Лейбница выполнены, но ряд из модулей расходится, поэтому ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n-\ln{n}}[/math] сходится условно.

Ответ

Ряд сходится условно.