2797-1
Информация о задаче
Задача №2797 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n^3}{2^n}[/math].
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}n^3}{2^n}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}[/math]. Применим признак Д'Аламбера:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3\cdot{2^n}}{2^{n+1}\cdot{n^3}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\right) =\frac{1}{2}. [/dmath]
Так как [math]\frac{1}{2}\lt{1}[/math], то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}[/math] сходится, поэтому ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n^3}{2^n}[/math] сходится абсолютно.
Ответ
Ряд сходится абсолютно.
