Задача №1789
Исследовать на сходимость ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\).
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\). Так как степень \(\frac{1}{2}\le{1}\), то данный ряд расходится. Проверим выполнение условий признака Лейбница для заданного знакочередующегося ряда:
Оба условия признака Лейбница выполнены, однако ряд из модулей расходится, поэтому ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) сходится условно.
Ряд сходится условно.