2796-1

Информация о задаче

Задача №2796 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}[/math].

Решение

Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}[/math]. Так как степень [math]\frac{1}{2}≤1[/math], то данный ряд расходится. Проверим выполнение условий признака Лейбница для заданного знакочередующегося ряда:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0;\;\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}. [/math]

Оба условия признака Лейбница выполнены, однако ряд из модулей расходится, поэтому ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}[/math] сходится условно.

Ответ

Ряд сходится условно.