2794-1
Информация о задаче
Задача №2794 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot{2^n}}[/math].
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot{2^n}}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot{2^n}}[/math]. Применим признак Д'Аламбера:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{n\cdot{2^n}}{(n+1)\cdot{2^{n+1}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+2} =\frac{1}{2}. [/dmath]
Так как [math]\frac{1}{2}\lt{1}[/math], то ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot{2^n}}[/math] сходится, поэтому ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot{2^n}}[/math] сходится абсолютно.
Ответ
Ряд сходится абсолютно.
