2793-1
Информация о задаче
Задача №2793 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n\alpha}}{n^2}[/math].
Решение
Заданный ряд является знакопеременным (при [math]\alpha\neq{0}[/math]). Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin{n\alpha}}{n^2}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin{n\alpha}|}{n^2}[/math]. Так как [math]|\sin{n\alpha}|\le{1}[/math], то [math]\frac{|\sin{n\alpha}|}{n^2} \le \frac{1}{n^2}[/math].
Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/math] сходится (так как степень [math]2\gt{1}[/math]), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin{n\alpha}|}{n^2}[/math]. Следовательно, ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n\alpha}}{n^2}[/math] сходится абсолютно.
Ответ
Ряд сходится абсолютно.
