Задача №1786
Условие
Исследовать на сходимость ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n\alpha}}{n^2}\).
Решение
Заданный ряд является знакопеременным (при \(\alpha\neq{0}\)). Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin{n\alpha}}{n^2}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin{n\alpha}|}{n^2}\). Так как \(|\sin{n\alpha}|\le{1}\), то \(\frac{|\sin{n\alpha}|}{n^2} \le \frac{1}{n^2}\).
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) сходится (так как степень \(2\gt{1}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin{n\alpha}|}{n^2}\). Следовательно, ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n\alpha}}{n^2}\) сходится абсолютно.
Ответ:
Ряд сходится абсолютно.