2792-1
Информация о задаче
Задача №2792 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}[/math].
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}[/math]. Данный ряд расходится (см. 2745-1). Проверим выполнение условий признака Лейбница для заданного знакочередующегося ряда:
[dmath] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}=0;\;\frac{1}{\ln(n+1)}\gt\frac{1}{\ln(n+2)}. [/dmath]
Оба условия признака Лейбница выполнены, однако ряд из модулей расходится, поэтому ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}[/math] сходится условно.
Ответ
Ряд сходится условно.
