Задача №1785
Условие
Исследовать на сходимость ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}\).
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}\). Данный ряд расходится (см. 1738). Проверим выполнение условий признака Лейбница для заданного знакочередующегося ряда:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}=0;\;\frac{1}{\ln(n+1)}\gt\frac{1}{\ln(n+2)}.
\]
Оба условия признака Лейбница выполнены, однако ряд из модулей расходится, поэтому ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}\) сходится условно.
Ответ:
Ряд сходится условно.