2792-1

Информация о задаче

Задача №2792 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}[/math].

Решение

Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}[/math]. Данный ряд расходится (см. 2745-1). Проверим выполнение условий признака Лейбница для заданного знакочередующегося ряда:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}=0;\;\frac{1}{\ln(n+1)}>\frac{1}{\ln(n+2)}. [/math]

Оба условия признака Лейбница выполнены, однако ряд из модулей расходится, поэтому ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\ln(n+1)}[/math] сходится условно.

Ответ

Ряд сходится условно.