2791-1

Информация о задаче

Задача №2791 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^3}[/math].

Решение

Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^3}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}[/math]. Сравним данный ряд с рядом [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}[/math], используя признак сравнения в предельной форме:

[math] \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{1}{(2n-1)^3}} =\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n}\right)^3 =8. [/math]

Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}[/math] сходится (так как степень [math]3>1[/math]), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}[/math]. Следовательно, ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^3}[/math] сходится абсолютно.

Ответ

Ряд сходится абсолютно.