Задача №1784
Условие
Исследовать на сходимость ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^3}\).
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^3}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}\). Сравним данный ряд с рядом \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\), используя признак сравнения в предельной форме:
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{1}{(2n-1)^3}}
=\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n}\right)^3
=8.
\]
Ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\) сходится (так как степень \(3\gt{1}\)), поэтому согласно признаку сравнения будет сходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}\). Следовательно, ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^3}\) сходится абсолютно.
Ответ:
Ряд сходится абсолютно.